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Ecole des Ponts ParisTech Mai 2020 Département GCC Devoir de Plasticité Problèm

Ecole des Ponts ParisTech Mai 2020 Département GCC Devoir de Plasticité Problème n°1 La figure ci-dessus représente une structure OAB formée de deux poutres en flexion de longueur l, perpendiculaires entre elles au point A. L’appui O est une articulation fixe sans frottement (M=0), tandis que l’appui B est une articulation sans frottement, libre de se déplacer horizontalement. Ces deux extrémités sont reliées entre elles par un câble horizontal OB. Les différents éléments de cette structure (poutres et câble) obéissent à un comportement élastique parfaitement plastique caractérisé par les diagrammes ci-dessus (à noter que le câble ne supporte que des efforts de traction: 0 N  ). Partant d’un état initial naturel, la structure est soumise à un effort horizontal Q que l’on fait croître progressivement à partir de zéro. O A B l l + + Q 0 Y  N l 2 q M  0 M p ( ) EI N  0 N c ( ) ES poutre ˆ cable 1. Statique. Expliquer pourquoi la réaction d’appui en B, notée Y, est nulle et en déduire les diagrammes de moments fléchissants statiquement admissibles le long des poutres OA et AB en fonction du chargement Q et l’effort de traction N dans le câble. 2. Phase élastique. Calculer l’énergie élastique de la structure définie par : * 2 2 p c 1 1 ( , ) ( , ; )d d 2( ) 2( ) OAB OB W Q N M Q N s s N s EI ES     où p c ( ) et ( ) EI ES désignent respectivement la rigidité en flexion des poutres et en traction du câble. En déduire, par application du théorème du potentiel minimum les valeurs de l’effort de traction N dans le câble et du moment fléchissant MA au point A en fonction du Q. Calculer le déplacement horizontal q de l’appui B. 3. Limite d’élasticité, phase élastoplastique et charge limite 3.1. A quelle condition la première plastification de produit-elle au point A ? Se plaçant dans le cas où cette condition est vérifiée, calculer la limite d’élasticité e Q de la structure. 3.2. On poursuit le chargement au-delà de cette limite d’élasticité ( , 0 e Q Q Q Q     ). En supposant que le point A reste en charge plastique ( 0 A M   ) décrire de problème isostatique associé à Q  , puis calculer N  et q  en fonction de Q  . Montrer que la règle d’écoulement plastique est bien vérifiée au point A. 3.3. Calculer la charge limite l Q de la structure et décrire le mécanisme de ruine plastique correspondant. Tracer la courbe donnant le chargement Q en fonction de q de l’état initial jusqu’à la ruine plastique de la structure. 3.4. Analyser la décharge totale de la structure effectuée à partir de la valeur l Q Q  , le câble n’ayant subi aucun allongement plastique. CORRIGE 1. L’équilibre global de la structure (ensemble poutres-câble) en moment par rapport à l’appui O sous l’action conjointe du chargement Q et de la réaction d’appui Y implique la nullité de cette dernière puisque le moment de Q par rapport à O est nul. Repérant un point courant de la poutre AB par son abscisse x le long de l’axe Ax, le moment fléchissant est égal au moment en ce point de l’effort Q et de la tension N du câble : 0 : ( ) ( ) 2 l x x l M x Q N      De même pour la poutre OA repérée par l’axe Oy : 0 : ( ) ( ) 2 y y l M x Q N     Les distributions de moments fléchissants statiquement admissibles, de forme triangulaire (voir figure), dépendent de la tension N du câble prise comme inconnue hyperstatique. Le moment extrémal est atteint au point A : ( ) 2 A l M Q N   2. Phase élastique Le calcul de l’énergie élastique de la structure donne :       2 2 2 2 * 2 0 0 p c 1 2 ( , ) / 2 d ( ) / 2 d 2( ) 2( ) l l l W Q N Q N y y Q N l x x N EI ES               soit après calculs : 3 * 2 2 p c 2 ( , ) ( ) 6( ) 2( ) l l W Q N Q N N EI ES    L’application du théorème du potentiel minimum permet alors de déterminer la tension dans le câble en phase élastique : * 2 c p 2 0 ( ) 0 ( ) 3( ) W l N N Q N ES EI        soit : p 2 ( ) avec =3 2 1 ( )c EI Q N ES l    D’où la valeur correspondante du moment fléchissant en A : O B l l Q N l 2 x y ( ) / 2 A M Q N l   0 A ( ) / 2 1 2 A l M Q N l Q       Le déplacement q du point d’appui B peut être calculé soit en utilisant le théorème de Castigliano :   * * * 3 3 p p 0 d d , ( ) ( ( )) d d 3( ) 3( ) 1 W W W N l l q Q N Q Q N Q Q Q Q N Q EI EI               soit, de manière équivalente, en observant que q n’est autre que l’allongement élastique du câble : c c ( ) 2 2 ( ) ( ) 1 N Q l Q q l ES ES     3. Phase élastoplastique 3.1. Limite d’élasticité Compte tenu des expressions de N et MA établies ci-dessus, le câble plastifie en traction pour 0 c 0 (1 ) N N Q Q N       , tandis que la plastification en flexion au point A correspond à 0 p 0 2(1 ) / A M M Q Q M l        . Cette dernière se produit donc en premier si la condition suivante est vérifiée : p c 0 0 / 2 Q Q M N l     de sorte que, dans ce cas, la limite d’élasticité vaut : 0 p (1 ) 2 e M Q Q l      3.2. Le problème isostatique associé à l’application du chargement e Q Q Q    est représenté sur la figure ci-dessous, avec une articulation sans frottement placée au point A. L’accroissement de chargement Q  est repris par le seul câble, de sorte que N Q   , et par suite en utilisant la loi de comportement élastique de ce dernier : 2 ( )c Q q l ES   Il reste à vérifier que la règle d’écoulement plastique au point A où apparaît une rotule plastique. La discontinuité de rotation plastique en ce point est égale à : c 2 2 ( ) p q Q l ES      de sorte que : 0 c , 0 2 0 ( ) p A A Q M M M ES       3.3. La charge limite l Q de la structure est atteinte lorsque l’effort de traction N dans le câble atteint à son tour sa limite N0. D’où en écrivant la relation d’équilibre entre Q, N et A M : 0 0 0 0 2 ( ) / 2 l A M N M M Q N l Q N l        Il lui est associé le mécanisme d’écoulement plastique libre représenté sur la figure ci- dessous. Désignant par 0 p  la discontinuité du taux de rotation plastique au point A, la poutre OA est animée d’un mouvement de rotation de vitesse égale à / 2 0 p    , la poutre AB d’un mouvement de rotation de vitesse / 2 0 p    tandis que le câble subit un taux d’allongement plastique égal à / 2 0 p q l   . L’ensemble des résultats ci-dessus est récapitulé sous la forme d’un diagramme donnant l’évolution de l’effort Q en fonction de q. O B l l Q  N Q   l 2 0 A M   A / 2 q  q  / 2 2 q l    O B l Q 0 N  0 uploads/Ingenierie_Lourd/ devoir-de-plasticite-2020-enonce-corrige.pdf