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HAL Id: cel-00341772 https://cel.archives-ouvertes.fr/cel-00341772v1 Submitted on 26 Nov 2008 (v1), last revised 26 May 2011 (v3) HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés. Méthode des éléments finis Hervé Oudin To cite this version: Hervé Oudin. Méthode des éléments finis. Engineering school. Ecole Centrale de Nantes, 2008, pp.63. cel-00341772v1 Méthode des éléments ﬁnis Hervé Oudin 28/09/2008 Table des matières 1 Méthodes d’approximation en physique 1 1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Processus d’analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Méthodes d’approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Méthode des résidus pondérés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Formulation variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3.1 Transformation de la forme intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.2 Discrétisation de la forme intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.3 Écriture matricielle des équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Principe des travaux virtuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.1 Écriture du principe des travaux virtuels . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.2 Discrétisation du Principe des Travaux Virtuels . . . . . . . . . . . . . 10 2 Méthode des éléments ﬁnis 13 2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Démarche éléments ﬁnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2.1 Discrétisation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2.2 Approximation nodale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2.3 Quantités élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2.4 Assemblage et conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3 Utilisation d’un logiciel éléments ﬁnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3.1 Déroulement d’une étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3.2 Techniques de calculs au niveau élémentaire . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4 Organigramme d’un logiciel éléments ﬁnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3 Applications en mécanique 31 3.1 Structures treillis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.1.1 Élément barre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.1.2 Assemblage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.2 Structures portiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.2.1 Élément poutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.2.2 Assemblage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.3 Élasticité plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.3.1 Contraintes planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.3.2 Déformations planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.3.3 Élément T3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.3.4 Élément Q4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 A Illustrations académiques 47 A.1 Application de la méthode des résidus pondérés . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 A.2 Formulation variationnelle de l’équation de poisson . . . . . . . . . . . . . . . 48 A.3 Construction d’une approximation nodale linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . 48 A.4 Fonctions d’interpolation d’un élément triangulaire . . . . . . . . . . . . . . . 49 A.5 Structure élastique à symétrie cylindrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 A.6 Assemblage et conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 A.7 Principe des Travaux Virtuels en traction-compression . . . . . . . . . . . . . . 52 A.8 Équivalence PTV et équation locale avec conditions aux limites . . . . . . . . . 53 A.9 Matrice raideur et vecteur force généralisée des éléments triangulaires . . . . . 53 A.10 Changement de base dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 A.11 Dimensionnement statique d’une colonne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 A.12 Étude statique d’un portique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Références 61 Index 62 1 Méthodes d’approximation en physique 1.1 Généralités 1.1.1 Processus d’analyse De façon générale, les diﬀérentes étapes d’analyse d’un problème physique s’organisent suivant le processus schématisé par la ﬁgure 1.1. Nous uploads/Ingenierie_Lourd/ methode-des-elements-finis-to-cite-this-version.pdf