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Mécanique des milieux continus Séance 1 : Introduction, Mathématiques Guilhem M

Mécanique des milieux continus Séance 1 : Introduction, Mathématiques Guilhem MOLLON GEO3 2012-2013 Plan de l’année Partie 1 : Notions principales de la MMC - Mathématiques - Cinématique, déformations - Lois fondamentales, contraintes Partie 2 : Lois de comportement et techniques de résolution - Elasticité, élastoplasticité - Comportement des fluides - Méthodes de résolution numérique Contact : Guilhem MOLLON Attaché Temporaire Enseignement et Recherche Laboratoire Sols, Solides, Structures et Risques (3SRLab) Guilhem.mollon@gmail.com Planning : Cours, 12 séances de deux heures TD, 9 séances de deux heures 2 Plan de la séance A. Introduction à la MMC 1. Définition 2. Hypothèses principales 3. Applications B. Algèbre tensorielle 1. Espaces, notations 2. Tenseurs 3. Opérations sur les tenseurs C. Analyse tensorielle 1. Opérateurs différentiels 2. Transformations d’intégrales 3 A. Introduction à la MMC Séance 1 5 A. Introduction à la MMC 1. Définition Mécanique : Branche de la physique qui décrit les mouvements et les équilibres d’un système Milieu : A ne pas confondre avec « matériau ». La MMC est, dans un premier temps, une discipline « abstraite », capable de s’adapter à un grand nombre de situations. Elle se spécialisera seulement en seconde partie du cours (mécanique du solide déformable, mécanique des fluides, etc.) Continu : On introduit ici la notion d’échelle d’observation, car tous les matériaux réels sont discontinus si on y regarde d’assez près. La MMC est donc une modélisation mathématique du réel qui repose sur des hypothèses vérifiées dans des conditions données. 6 A. Introduction à la MMC 1. Définition Mécanique du point : La plus simple des mécaniques « modernes », fondée sur les résultats de Newton. Notions : masse, force Mécanique du solide indéformable : On ajoute une « forme » au système de mécanique du point, et donc un volume et une distribution de masse dans ce volume. Notions : rotation, inertie, moment Mécanique des milieux continus : On ajoute la possibilité au système de changer de forme, ce qui implique des outils mathématiques beaucoup plus complexes. Notions : déformations, contraintes, etc. Sir Isaac Newton 1643-1727 7 A. Introduction à la MMC 1. Définition On dit souvent que la matière est sous l’un des trois états classiques : solide, liquide, gazeux Question : que faire des mots suivants : fluide, pâteux, mou, épais, plastique, visqueux, etc. ? Faut-il développer une théorie pour chacun de ces comportements ? La réponse est non, car la MMC les couvre tous. En fait, dans un premier temps, la MMC n’a pas besoin de la notion de « consistance », et propose une modélisation mathématique commune à tous ces types de milieux. On décrira cette consistance seulement dans un second temps, avec la notion de modèle de comportement, propre à chaque application dans le monde physique. 8 A. Introduction à la MMC 2. Hypothèses L’échelle du problème est très grande devant la taille des particules élémentaires : La MMC n’est pas « quantique » La vitesse de la matière dans le milieu d’étude est négligeable devant celle de la lumière : La MMC n’est pas « relativiste » La MMC est donc une mécanique dite « classique » Max Planck 1858-1947 Albert Einstein 1879-1955 9 A. Introduction à la MMC 2. Hypothèses L’hypothèse principale de la MMC est nommée « hypothèse de continuité » : Les propriétés de la matière (densité, rigidité, etc.) sont continues L’intérêt de cette hypothèse (parfois contestable) est de pouvoir représenter mathématiquement toutes les grandeurs par des champs, continus et dérivables en temps et en espace. Implication concrète de cette hypothèse : La MMC ne s’intéresse qu’à des « moyennes locales » Il est impossible de suivre le mouvement individuel de toutes les particules élémentaires d’un milieu. Par exemple, la pression appliquée par un fluide sur une paroi immergée est le résultat d’un très grand nombre d’impacts de particules. Pourtant, on la représente par un seul nombre, qui est l’effet moyen de ces collisions. 10 A. Introduction à la MMC 3. Applications La MMC est partout : En tant que théorie de la déformation de la matière, la MMC est absolument omniprésente dans les sciences de l’ingénieur. C’est un des langages communs de l’ingénierie. Applications les plus évidentes : -Procédés industriels (usinage, extrusion, etc.), industrie mécanique (aéronautique, automobile, etc.), biomécanique, matériaux composites, micromécanique, … -Structures de génie civil, bâtiments, ponts, barrages, routes, ouvrages béton, acier, bois, etc. -Mécanique des fluides, aérodynamique, écoulements en canaux et conduites, écoulements fluviaux et souterrains -Géophysique, mécanique des sols, mécanique des roches -Etc. 11 A. Introduction à la MMC 3. Applications Pour un géotechnicien : La MMC sera utilisée pour répondre, par exemple, aux questions suivantes : -De combien de millimètres cette fondation va-t-elle tasser ? -Au bout de combien de temps ce tassement sera-t-il atteint ? -Quel charge ce soutènement peut-il supporter avant de céder ? -Ce talus sera-t-il stable en cas de grosse pluie ? -Quel débit d’eau va s’infiltrer au travers de ce barrage ? -etc. Rigidité, Résistance, Stabilité, Ecoulement 12 A. Introduction à la MMC 3. Applications Avertissement : La plupart de équations mathématiques de la MMC sont insolubles à la main car trop complexes, et même très souvent insolubles analytiquement. C’est pourquoi, dans le cadre de ce cours : On ne cherchera pas à résoudre des équations, mais seulement à les poser. Bien entendu, les ingénieurs disposent d’une multitude de méthodes de résolutions approchées de ces équations. On en parlera brièvement à la fin du cours. Pour l’essentiel, on va se concentrer sur la théorie, et non pas sur sa résolution concrète. B. Algèbre tensorielle Séance 1 14 B. Algèbre tensorielle 1. Espaces et notations La mécanique des milieux continus s’exprime dans un univers à trois dimensions spatiales et une dimension temporelle. Espace Les trois dimensions spatiales forment un espace euclidien (espace vectoriel muni d’un produit scalaire). On note cet espace E3, et on utilisera couramment une base orthonormée notée B : Si on choisit un point O comme origine, on aura donc un repère noté : Un élément de cet espace est nommé « vecteur », et est noté Temps Dans le cadre de la mécanique classique, le temps est absolu. Il est muni d’une structure de droite orientée, dont les points sont appelés « instants » et notés t 15 B. Algèbre tensorielle 1. Espaces et notations Notation d’Einstein La notation d’Einstein est une convention propre au calcul tensoriel. Elle permet d’alléger considérablement les notations. On l’appelle aussi « notation indicielle », ou « convention de l’indice muet ». Cette convention d’écriture s’énonce ainsi : « Si un indice apparaît deux fois dans le même monôme, on lui fait prendre les valeurs 1, 2, et 3, et on fait la somme de l’ensemble » Dans cet énoncé, un indice représente une référence à un des axes de la base Un indice prend donc toujours la valeur 1, 2, ou 3 Un vecteur peut par exemple s’écrire : B. Algèbre tensorielle 1. Espaces et notations Notation d’Einstein En suivant cette convention, on peut écrire : Et par conséquent : On appelle ceci un indice muet : la lettre choisie pour l’indice n’a aucune importance, la seule importance est qu’elle est répétée deux fois dans le même terme, et donc qu’on doit en faire la somme sur les trois dimensions de l’espace. Dans le cas où on ne voudrait pas faire de somme malgré une répétition d’indice, on a coutume de souligner l’indice en question. Il est alors appelé indice franc. Exemple : On a donc : 16 17 B. Algèbre tensorielle 1. Espaces et notations Notation d’Einstein On aura souvent à mixer dans une même équation des indices francs et muets, comme par exemple lors du produit d’une matrice a par un vecteur b : Une des utilisations les plus évidentes de cette notation est le produit scalaire de deux vecteurs : Il est important d’être à l’aise avec cette notation car elle est omniprésente dans la suite du cours. Par ailleurs, elle est beaucoup plus simple qu’elle n’en a l’air au premier abord. 18 B. Algèbre tensorielle 1. Espaces et notations Symbole de Kronecker Le symbole de Kronecker (aussi appelé « le Kronecker ») se note Il peut prendre deux valeurs : On rappelle que les indices i et j représentent des directions de l’espace et valent 1, 2, ou 3. On a donc : Leopold Kronecker 1823-1891 19 B. Algèbre tensorielle 2. Tenseurs Notion de tenseur Un tenseur est un objet mathématique défini par un ordre, qui est un entier positif ou nul. Par convention, on appellera généralement « tenseur » un tenseur d’ordre 2. Définition Un tenseur d’ordre 2 est une forme bilinéaire de dans Autrement dit, il s’agit d’une « fonction » qui fait correspondre un réel à deux vecteurs quelconques. Si on applique un tenseur noté à deux vecteurs et , on obtiendra le scalaire 20 B. Algèbre tensorielle 2. Tenseurs Dans la base courante , on appelle composantes de les 9 scalaires : On en déduit que, dans cette base, on peut représenter le tenseur par une matrice uploads/Ingenierie_Lourd/ mmc1 1 .pdf