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LYCCE CLASSIQUE DE MFOU DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES B.P 25 MFOU Année Scolaire

LYCCE CLASSIQUE DE MFOU DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES B.P 25 MFOU Année Scolaire 2006 / 2007 Tél 223 66 39 Séquence :6 BACCALAUREAT BLANC Session Mai 2007 EPREUVE DE MATHEMATIQUES Série C Durée : 4h Coefficient :4 Examinateur : MBANG Joseph L’épreuve comporte deux exercices et un problème. La qualité de la rédaction et le soin apporté au tracé des figures seront pris en compte dans l’évaluation de la copie du candidat Exercice 1 : 5 points (Probabilités – Suites Numériques – Arithmétiques) Une urne contient 10 boules noires et 10 boules blanches indiscernables au toucher. On tire successivement avec remise n boules de cette urne ( ) 2 ≥ n . On pose A ‘’On obtient des boules de deux couleurs’’ B ‘’On obtient au plus une boule blanche’’ 1. a) Calculer la probabilité de l’évènement : ‘’Toutes les boules tirées sont de même couleur’’ 0,5pt b) Calculer la probabilité de l’évènement :’’On obtient exactement une boule blanche 0,5pt 2. a) Définir l’évènement B A ∩ . 0,25pt b) En déduire que : n n B A P 2 ) ( = ∩ ; 1 1 2 1 2 ) ( − −− = n n A P ; n n B P 2 1 ) ( + = . 0,75pt 3. Montrer que ) ( ) ( ) ( B P A P B A P = ∩ si et seulement si 1 2 1 + = − n n . 0,5pt 4. Soit ) ( n U la suite définie pour tout n entier naturel supérieur ou égal à deux : ) 1 ( 2 1 + − = − n U n n a) Calculer 2 U ; 3 U ; 4 U . 0,5pt b) Démontrer que la suite ) ( n U est croissante. 0,5pt c) En déduire la valeur de l’entier naturel n tel que les évènements A et B soient indépendants. 0,5pt 5) Déterminer les entiers naturelsn tels que la fraction 1 17 − + n n soit un entier naturel. 1pt Exercice 2 : 5 points (Similitudes directes – Coniques – Isométrie du plan) I . Le plan est rapporté à un repère orthonormé ) , ; ( j i O r r . r est la rotation de centre Ωd’affixe i + 1 d’angle 3 π θ = . h est l’homothétie de centre Ωet de rapport 2 = k . ) (ξ est l’ellipse d’équation cartésienne 1 9 4 2 2 = + y x . Soient M le point d’affixe iy x z + = et le point M’ d’affixe ' ' ' iy x z + = . 1. a) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de r h f o = . 0,75pt b) On pose ) ( ' M f M = - Donner une écriture complexe de f . 0,5pt - En déduire l’expression analytique de f . 0,5pt 2. Donner les éléments caractéristiques de ) (ξ . 0,5pt Déterminer l’image ) ' (ξ de ) (ξ par f . 0,5pt Tracer ) (ξ et ) ' (ξ dans le repère ) , ; ( j i O r r . 1pt II . Dans le plan on considère le plan orienté, On considère le triangle ABC tel que AB=AC ; , (AB AC ) 2 π = . I, J et K sont les milieux respectifs de [BC] ;[CA] et [AB]. On note par r la rotation de centre I et d’angle 2 π et t la translation de vecteur BC 2 1 . On note t r f o = et r t g o = . 1. Trouver l’image de K par f et celle de J par g . 0,5pt Préciser la nature et les éléments caractéristiques de f et de g . 0,5pt 2. a) Préciser la nature de la transformation 1 − f g o . 0,5pt b) Quelle est l’image de A par 1 − f g o ? caractériser alors l’application 1 − f g o . 0,5pt Problème :10 points Partie A : 4 points(Espaces et Applications de l’espace) L’espace (E) est rapporté à un repère orthonormal ) , , ; ( k j i O r r r . On considère les points A, B, et C de coordonnées respectives (1, 0, 2) ; (1, 1, 4) ; (-1, 1, 1) . 1. a) Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés. 0,25pt b) Soitn r le vecteur de coordonnées (3, 4, -2). Vérifier que le vecteurn r est orthogonal aux vecteurs AB et AC . 0,5pt En déduire une équation cartésienne du plan (ABC). 0,5pt 2. Soient ) ( 1 P et ) ( 2 P les plans d’équations respectives 0 1 2 2 = + + + z y x et 0 6 2 = + − z y x . a) Montrer que les plans ) ( 1 P et ) ( 2 P sont sécants selon une droite (D) dont on déterminera le système d’équations paramétriques. 0,75pt b) Ecrire l’expression analytique de la réflexion 11 P S de plan ) ( 1 P . 0,5pt c) Ecrire l’expression analytique de la réflexion 2 P S de plan ) ( 2 P . 0,5pt 3 .En déduire l’expression analytique et la nature de 2 1 P P S S S o = . 1pt Partie B : 5 points (Fonction définie par une intégrale) Soit f la fonction définie par : dt e x f x x t ∫ − − = ln ) ( . Le but de cette partie est la résolution de l’équation 0 ) ( = x f . 1. Déterminer l’intervalle (noté I pour toute la suite) des réels x tels que ) (x f existe. 0,5pt 2. Démontrer que l’équation 0 ln = + x x admet une unique solution ] ] 1 , 0 ∈ α . 0,5pt Dresser le tableau de signe de x x x u ln ) ( + = . 0,5pt 3. En utilisant l’inégalité des accroissements finis, démontrer que pour tout réel x de ] ] α , 0 α − + e x x ) ln ( x e x x x f − + ≤ ≤ ) ln ( ) ( . 1pt En déduire ) ( lim x f quand x tend vers + 0 . 0,25pt 4. Démontrer que f est dérivable sur I. Calculer ) ( ' x f . 1pt 5. Démontrer que f admet une application réciproque g définie sur un intervalle J qu’on précisera. 0,75pt Donner le tableau de variation de g . 0,5pt 6. Démontrer queα est l’unique solution de l’équation 0 ) ( = x f . 0,5pt 7. Montrer que 1 ) ( 1 < < α f e . 1pt BONNE CHANCE AU BACCALAUREAT uploads/Ingenierie_Lourd/ bac-blanc-serie-c-lycee-de-mfou-2006-2007.pdf