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Statique appliquée DEH 04 - page 8 2.1 NOTION DE MOMENTS Le concept de moment p

Statique appliquée DEH 04 - page 8 2.1 NOTION DE MOMENTS Le concept de moment permet d’exprimer un autre type d’action d’un corps sur un autre. Le moment est, en fait, dû à une cause, il est provoquée par quelque chose: - le conducteur exerce une action sur le volant de son véhicule pour tourner. MOMENT ET ROTATION Lorsque l’on serre un écrou, lorsque l’on visse un tire-bouchon, lorsque l’on agit sur le volant d’une voiture, le solide sur lequel on exerce l’action tend à tourner sur lui-même. Il subit un mouvement de rotation autour d’un axe. L’action qui produit cet effet est de nature nouvelle et s’appelle un moment. Le moment tend donc à modifier l’état du corps sur lequel il agit dans le sens d’une rotation d’ensemble autour d’un axe. Son effet dépendant de l’orientation de l’axe de rotation, du sens et de la grandeur de l’action, le moment a donc, d’un point de vue mathématique, les caractéristiques d’un vecteur. (le support du vecteur moment est l’axe de rotation). Il sera noté M et également représenté par une flèche de longueur proportionnelle à son intensité. sens sens M M Ligne d’action, ou support grandeur sens de rotation axe de rotation axe de rotation Statique appliquée DEH 04 - page 9 Le sens du vecteur doit correspondre au sens de la rotation qu’il tend à provoquer ! Pour ce faire, on utilise la règle du tire-bouchon ou de la main droite : - en tournant dans le sens de la rotation due au moment, le sens de progression du tire-bouchon donne le sens du vecteur ; - en enroulant les doigts de la main droite de la paume vers les extrémités dans le sens de la rotation due au moment, le pouce tendu donne le sens du vecteur. Comme pour les forces «proprement dites», il y a des moments concentrés et des moments répartis qui peuvent agir sur les structures. REMARQUES : - la force proprement dite F, est associée à une translation d’ensemble; le moment M, est associé à une rotation d’ensemble. Vu la nature différente de leur effet, et bien que ce soient tous deux des vecteurs, forces et moments ne peuvent être combinés vectorielement ! - Les trois principes de la statique ainsi que les opérations de composition et de décomposition vus précédemment s’appliquent aussi bien aux forces proprement dites qu’aux moments ! sens M sens M Statique appliquée DEH 04 - page 10 2.2 MOMENT D’UNE FORCE DANS LE PLAN MOMENT PAR RAPPORT A UN POINT En plus de la tendance qu’a une force F de déplacer le corps sur lequel elle agit dans sa direction et son sens, l’expérience montre qu’une force peut aussi avoir tendance, dans certaines conditions, à imprimer une rotation autour d’un axe, au corps sur lequel elle agit! Cette tendance que possède une force s’appelle le moment de la force ! Considérons une clé plate engagée sur un tube vertical. La force F appliquée perpendiculairement à la poignée de la clé va exercer une action qui aura tendance à faire tourner le tube autour de son axe ! Cette action est le moment de la force F, dont l’intensité va dépendre de la grandeur de la force et de la distance d de son point d’application, appelée « bras de levier » de F. La valeur M du moment de F sera simplement mesurée par le produit F.d, où le bras de levier d doit toujours être mesuré perpendiculairement à la force ! En réalité, comme le montre le dessin, le moment M de la force F est un vecteur : - dont la direction est celle de l’axe de rotation du tube, - appliqué au point de l’axe correspondant à l’endroit où la clé est engagée, - de valeur F.d, (unité : Nm ou kNm) - et dont le sens est donné par la règle de la main droite ou du tire-bouchon ! d = bras de levier Axe de rotation M F M = F.d Statique appliquée DEH 04 - page 11 Si à présent, nous «oublions» la clé plate, et ne considérons plus que le plan formé par la force et son bras de levier, celle-ci aura tendance à faire tourner le plan autour du point de percée de l’axe du tube dans ce dernier, soit O : On parlera alors du moment de la force F par rapport au point O : Par définition, le moment MO d’une force F par rapport au point O est donc un vecteur : - appliqué en O ; - de support perpendiculaire au plan formé par la force et le point O; - de grandeur égale au produit de celle de la force et de celle de son «bras de levier»; - de sens donné par la règle du «tire-bouchon» ou de la «main droite». Pour rappel, le moment de F par rapport à O représente la tendance à faire tourner le plan autour d’un axe passant par O et perpendiculaire au plan de F et O. Ce moment ne change pas si on fait glisser la force sur sa ligne d’action ; Bon nombre de problèmes pratiques comportant des forces appliquées dans le même plan, faisons «basculer» le plan de la force et du point pour le faire correspondre à celui de la feuille : le vecteur moment MO(F), qui est perpendiculaires au plan de F et O, donc au plan du dessin, n’est plus visible que sous la forme d’un point ! C’est pourquoi, dans ce cas, on représente le moment «dans le plan» par une flèche «tournante» qui indique, sans ambiguïté, le sens de rotation que la force a tendance à imprimer au corps autour du point (c’est-à-dire autour d’un axe perpendiculaire au plan des forces). La convention de signes de ces moments peut aussi être plus simple : les moments seront positifs lorsque les forces tendent à faire tourner le corps, soit dans le sens horlogique, soit dans le sens trigonométrique et négatifs dans le cas contraire. d O F M MO(F) Statique appliquée DEH 04 - page 12 M1 = F1.d1, M2 = − F2.d2 F d O M y x F x y d O M + d2 d1 F1 F2 O M1 M2 x y + Statique appliquée DEH 04 - page 13 THEOREME DE VARIGNON Le théorème de VARIGNON, qui sera démontré de façon générale dans la suite du cours, dit que « le moment par rapport à un point d’une force, est égal à la somme des moments, par rapport à ce même point, des composantes de cette force ». Il est très utile pour le calcul du moment d’une force par rapport à un point du plan en utilisant les composantes orthogonales de celle-ci ! Selon VARIGNON, le moment de la force F par rapport au point O peut donc s’obtenir de deux manières : : M = −F.d , ou bien M = − Fx.dy + Fy.dx , expression dans laquelle les distances dx et dy sont plus aisées à déterminer que le bras de levier d. L’intérêt du théorème apparaît encore plus si l’on fait glisser la force F sur sa ligne d’action pour amener son point d’application à la verticale du point O. Dans ce cas, le moment de la force F par rapport à O se réduira au moment de la composante horizontale de la force ! De même, si on fait glisser la force en amenant son point d’application à l’horizontale du point O, le moment se réduira à celui de sa seule composante verticale ! + y x M d O F Fx Fy dy dx M d O F Fx Fy dy M O F Fx Fy dx Statique appliquée DEH 04 - page 14 2.3 COUPLES DE FORCES DANS LE PLAN On appelle couple, l’ensemble constitué par deux forces dont les lignes d’action sont parallèles, les grandeurs égales mais les sens opposés. Ces deux forces ne peuvent être ramenées à une résultante unique R car leur somme est nulle ! Par contre, il est possible de calculer le moment du couple de forces, par rapport à un point quelconque O de leur plan. On obtient , ainsi : MO F.d F.a d) F.(a = − + = , en comptant les moments positivement dans le sens trigonométrique, et où d est le «bras de levier» du couple. On constate donc que le moment du couple est indépendant du choix du point O et que le sens de ce moment correspond au sens de la rotation que les deux forces ont tendance à imprimer au plan dans lequel elles agissent ! Le couple n’ayant pas de résultante, sa seule caractéristique est son moment MC. Il pourra donc toujours être représenté par un moment MC, d’intensité F.d, qui n’est pas attaché à un point particulier et qui traduira physiquement la tendance qu’a le couple à imprimer une rotation à son plan. Inversement, tout moment «isolé» peut être remplacé par un couple de forces uploads/Ingenierie_Lourd/ module02tmecasta.pdf