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Q Cours d’Optique (31-104) Page 1 sur 13 JN Beury n 45° LES MIROIRS I. MIROIR I

Q Cours d’Optique (31-104) Page 1 sur 13 JN Beury n 45° LES MIROIRS I. MIROIR I.1 Définition Un miroir est une surface polie réfléchissante. Il réfléchit toutes les longueurs d’onde du visible de la même façon. Au bout d’un certain temps, il finit par s’oxyder. Il doit être métallisé. Les miroirs usuels sont réalisés par un dépôt d’aluminium sur du verre I.2 Cas particulier d’un prisme à réflexion totale. Calculons la condition sur l’indice n du prisme pour avoir une réflexion totale. L’angle d’incidence vaut 45°. Soit i2 l’angle de réfraction. Les lois de Descartes s’écrivent : 2 sin 45 sin n i ° = . Pour avoir une réflexion totale, on doit avoir sin 45 1 n ° > , soit 2 n > . Application : Le LIDAR – télémétrie Terre-Lune Sur la lune, lors des missions Apollo, les cosmonautes ont déposé des coins de cube qui permettent de réfléchir les rayons laser venus de la Terre. On peut aujourd’hui mesurer la distance Terre-Lune à quelques millimètres près. http://www.larecherche.fr/content/recherche/article?id=20548 II. MIROIR PLAN II.1 Le miroir plan est rigoureusement stigmatique http://subaru2.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/optigeo/mirplan.html D’après les lois de Descartes de la réflexion, l’angle de réflexion est égal à l’opposé de l’angle d’incidence. Quelque soit le rayon issu de A, il semble après réflexion provenir d’une source virtuelle A’ située derrière le miroir à une position symétrique de A par rapport au plan du miroir. Sur le schéma, A est un objet réel et A’ est une image virtuelle. Quand on se regarde dans un miroir, l’œil voit A’ mais on ne peut pas la projeter sur un écran. On ne peut pas « la saisir » avec la main !!! On a donc A →A’ avec A’ symétrique de A par rapport au plan du miroir. Le miroir est donc rigoureusement stigmatique. La formule de conjugaison s’écrit : ' HA HA = − . On oriente arbitrairement l’axe AA’. H est le projeté orthogonal de A sur le miroir plan. On représente en traits pleins les rayons lumineux se propageant dans un milieu. On représente en traits pointillés les rayons utiles pour la construction géométrique. Le rayon qui provient de A se réfléchit sur le miroir et semble provenir du point A’. H A A’ Q Cours d’Optique (31-104) Page 2 sur 13 JN Beury II.2 Image d’un objet – Le miroir plan est aplanétique AB → A’B’. On en déduit ' HA HA = − et ' HB HB = − . Pour un objet perpendiculaire à l’axe optique, on définit le grandissement transversal ' ' A B AB γ = . Pour un miroir plan, le grandissement transversal vaut ' ' 1 A B AB γ = = Le miroir plan est donc rigoureusement aplanétique. II.3 Déplacement de l’image du double par translation du miroir Si on translate parallèlement au miroir, il ne se passe rien. L’image ne bouge pas. Si on translate perpendiculairement au miroir, on observe un déplacement de l’image. Miroir position 1 : A →A1 Miroir position 2 : A →A2 Il suffit d’appliquer la relation de Chasles en passant par le point A pour déterminer 1 2 A A . 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 A A A A AA H A AH H H = + = + = On retient que l’image s’est déplacée du double du déplacement du miroir. II.4 Déplacement de l’image du double par rotation du miroir Miroir position 1 : A →A1 Miroir position 2 : A →A2 Il suffit d’appliquer la relation de Chasles en passant par A pour déterminer l’angle ( ) 1 2 , OA OA JJJG JJJJ G . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 , , , 2 , 2 , OA OA OA OA OA OA OI OA OA OJ = + = + JJJG JJJJ G JJJG JJJ G JJJ G JJJJ G JJG JJJ G JJJ G JJJ G Soit ( ) ( ) 1 2 , 2 , 2 OA OA OI OJ α = = JJJG JJJJ G JJG JJJ G . On retient que l’image a tourné du double de l’angle de rotation du miroir. http://subaru2.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/optigeo/mirtournant.html II.5 Réflexion sur deux miroirs Il est préférable de travailler avec des angles orientés dans le cas général. Cependant dans quelques exercices, comme celui-ci, les nombreux angles sont plus faciles à interpréter avec des angles géométriques. On considère la réflexion d’un rayon sur deux miroirs faisant un angle α entre eux. On cherche à déterminer la déviation de ce rayon lumineux en fonction de α . Pour calculer une déviation quand il y a plusieurs réflexions ou réfractions, il faut calculer les différentes déviations et faire la somme des déviations. Il ne faut pas essayer de calculer la déviation directement avec une seule relation ! ( ) ( ) 1 2 2 2 ' 2 2 2 ' D D D i i i i π π π = + = − + − = − − A H1 A1 A2 H2 A A1 A2 I J α 2α O I K α D J i i i’ i’ H A A’ B’ B Q Cours d’Optique (31-104) Page 3 sur 13 JN Beury C S lumière Miroir concave C S lumière Miroir convexe Dans le triangle IJK, on a : ( ) ' 2 2 i i π π π α π     − + − + − =         . On a donc ' i i π α + = − . D’où ( ) 2 2 2 D π π α α = − − = . On retient que le rayon lumineux a été dévié d’un angle double de l’angle entre les deux miroirs. Application : Si l’angle entre les deux miroirs vaut 90°, la déviation vaut 180°. On retrouve le coin de cube étudié dans le paragraphe I. L’angle α vaut 90°. III. MIROIRS SPHÉRIQUES III.1 Définition Un miroir sphérique est une calotte sphérique, polie et réfléchissante. C = centre du miroir (centre de courbure de la surface réfléchissante) S = sommet (point de symétrie de la calotte sphérique) R = rayon de la sphère r = rayon du cercle de base 2r = diamètre d’ouverture 2α = angle d’ouverture (angle sous lequel on voit le miroir depuis C) Axe optique = axe de symétrie de la calotte sphérique (passe par le centre C et le sommet S). Il y a deux types de miroirs sphériques : • Miroir concave : c’est un miroir creux. Le centre est dans le milieu de propagation de la lumière. • Miroir convexe : c’est un miroir bombé. Le centre n’est pas dans le milieu de propagation de la lumière. III.2 Recherche de points rigoureusement stigmatiques a) Astigmatisme du miroir sphérique Soit une source ponctuelle se réfléchissant sur un miroir sphérique concave. Les rayons issus de la source ponctuelle A ne convergent pas en un même point. Pour un objet quelconque, l’image d’un point n’est pas un point. On dit que le miroir sphérique est astigmatique. http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/cortial/bibliohtml/mirsph.html http://subaru2.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/optigeo/miroirs.html C S α 2r R Q Cours d’Optique (31-104) Page 4 sur 13 JN Beury C S C S C S A A’ I i θ i α α’ b) Stigmatisme rigoureux au centre et au sommet Tous les rayons qui proviennent de C repassent par C après s’être réfléchis sur le miroir puisqu’ils arrivent avec une incidence nulle sur le miroir. De même, tous les rayons issus de S (ou de tout point appartenant à la surface du miroir) et émis en direction du miroir s’y réfléchissent comme sur un miroir plan et semblent être issus de la source elle-même. C →C S →S III.3 Stigmatisme approché sur l’axe optique a) Formule de conjugaison au sommet On considère un rayon lumineux issu de A émis en direction du miroir en passant par S, il se réfléchit sur lui- même. On considère un autre rayon lumineux issu de A qui se réfléchit en I sur le miroir. L’angle d’incidence est égal à i. Dans le triangle ACI, on a : ( ) i α π θ π + − + = , soit 0 i α θ − + = (eq. 1) Dans le triangle A’CI , on a : ( ) ' i π α θ π − + + = , soit ' 0 i θ α − + = (eq. 2) On élimine i en faisant (1) – (2) : ' 2 α α θ + = (eq. 3) On se place dans les conditions de Gauss (rayons paraxiaux). On peut donc faire un développement limité. tan IS SA α α ≈ ≈ ; tan ' ' ' IS SA α α ≈ ≈ et tan IS SC θ θ ≈ ≈ . On assimile l’arc de cercle au plan tangent. Les triangles ASI, A’SI et CSI sont considérés dans cette approximation comme rectangles en S. uploads/Ingenierie_Lourd/ optique-miroirs.pdf