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Infographie Transformations Géométriques Nassima Ben Younes Lamloumi Naima Plan

Infographie Transformations Géométriques Nassima Ben Younes Lamloumi Naima Plan Plan 1. Fondements mathématiques 2. Représentations de transformations 3. Compositions de transformations 2 1. Fondements mathématiques 1. Fondements mathématiques • Scalaires et leurs propriétés • Vecteurs et leurs propriétés  Produit vectoriel  Addition de vecteurs  Normalisation • Matrices  Multiplication Matrice - vecteur  Multiplication Matrice - Matrice 3 1. Fondements mathématiques 1. Fondements mathématiques Scalaire • Un scalaire est une grandeur totalement définie par un nombre et une unité. • Il a une valeur numérique mais pas d'orientation. • Exemples :  Masse  Distance  Température  Volume  Densité  Etc. • Les scalaires obéissent aux lois de l'algèbre ordinaire. 4 1. Fondements mathématiques 1. Fondements mathématiques Scalaires Opérations élémentaires • Addition et multiplication • Propriétés o Commutativité o Associativité o Distributivité • Identité o Addition : 0 o Multiplication : 1 5 1. Fondements mathématiques 1. Fondements mathématiques Vecteurs Un vecteur est une entité mathématique définie par n valeurs numériques extraites du même ensemble E. Ces valeurs numériques décrivent le module et l'orientation du vecteur. n est appelé la dimension du vecteur. On dit que le vecteur est défini dans En avec En est un espace de dimension n. Exemple : dans Z2 . (x, y)Z2, dans R3 , (x, y, z)R3 6 1. Fondements mathématiques 1. Fondements mathématiques Vecteurs Dans un repère les vecteurs sont décrits dans une base (unités de l’ensemble).  Généralement unitaire.  Le vecteur est représenté par l’addition des vecteurs unitaires à chaque axe de coordonnées, en multipliant chacun par la projection (composante) respective du vecteur. 7 1. Fondements mathématiques 1. Fondements mathématiques Vecteurs Les vecteurs obéissent aux lois de l'algèbre vectorielle Opérations élémentaires  Produit scalaire  Produit vectoriel  Addition de vecteurs  Produit vecteur-scalaire  Normalisation 8 1. Fondements mathématiques 1. Fondements mathématiques Vecteurs : Produit scalaire Le produit scalaire de deux vecteurs est le produit du module du premier par la composante du second dans la direction du premier. Soient deux vecteurs = et = de R2, le produit scalaire . = x1x2 + y1y2. Soient deux vecteurs = et = de R3, le produit scalaire . = x1x2 + y1y2 + z1z2. Si q est l’angle entre et , . = . cos(q). 9 1. Fondements mathématiques 1. Fondements mathématiques Vecteurs : Produit scalaire Propriétés : • Commutativité u . v = v. u • Distributivité par l’addition (u + v) . w = u . w + v . W • Distributivité par un scalaire u . ( k * v) = k * (u . v) • Le produit scalaire de deux vecteurs est égal à 0 si ces deux vecteurs sont orthogonaux. • Si on inverse l’un des deux vecteurs, le résultat de leur produit scalaire est inversé. • Si les deux vecteurs sont normés, leur produit scalaire est égal au cosinus de l'angle qu'ils forment. 10 Exercice Démontrer que dans un parallélogramme, la somme des carrés des diagonales est égale à la somme des carrés de ses 4 cotés. 11 Réponse 12 1. Fondements mathématiques 1. Fondements mathématiques Vecteurs : Produit scalaire Champs d’applications  Projection d’un vecteur sur un autre.  Élimination des faces cachées.  Calcul d’angle entre deux vecteurs.  Calcul de la quantité de lumière perçue par une face.  Ombrage, … 13 1. Fondements mathématiques 1. Fondements mathématiques Vecteurs : Produit vectoriel Le produit vectoriel est un vecteur perpendiculaire à A et à B dont le sens est donné par la règle de la main droite. Soient deux vecteurs = et = de R3, le produit vectoriel ^ est le vecteur . 14 1 1. Fondements mathématiques . Fondements mathématiques Si θ est l’angle entre les vecteurs et , = abs(sin(θ)). Si on inverse l’un des deux vecteurs, le vecteur résultat du produit vectoriel est inversé.  ^ =  ^ est orthogonal à et à Vecteurs : Produit vectoriel Remarque : Le produit vectoriel est nul si les deux vecteurs sont parallèles et maximal s’ils sont perpendiculaires. 15 1. Fondements mathématiques 1. Fondements mathématiques Propriétés • Anti-commutativité (u×v) = − (v×u) • Distributivité sur l'addition (u + v)×w=u×w+ v×w • Distributivité par un scalaire (u + v).k =u.k + v.k • Non-associativité (u×v)×w≠u×(v ×w) Application : Calcul de la normale à un plan Vecteurs 16 Exercice Démontrer que l’aire d’un parallélogramme de coté A et B est égale au produit vectoriel du vecteur A et du vecteur B 17 Solution 18 1. Fondements mathématiques 1. Fondements mathématiques L’addition de deux vecteurs obéit à la règle du parallélogramme. Vecteurs : Addition de deux vecteurs Algébriquement cela se met en œuvre en additionnant les composantes individuellement 19 1. Fondements mathématiques 1. Fondements mathématiques Norme d’un vecteur La norme d’un vecteur est sa taille. Cette taille est calculée par le théorème de Pythagore, puisque les composantes d’un vecteur forment toujours des triangles rectangles deux à deux. Pour la dimension n on applique le même principe, en faisant que les deux côtés du triangle rectangle soient les projections du vecteur dans un sous-espace de dimension (n–1) et dans l’axe de la dimension manquante. La norme d'un vecteur AB est la distance de A à B 20 1. Fondements mathématiques 1. Fondements mathématiques  La normalisation fait qu’un vecteur devienne unitaire, c’est-à-dire, avec la norme 1.  Pour normaliser un vecteur il suffit de diviser toutes ses composantes par sa norme. Normalisation d’un vecteur 21 1. Fondements mathématiques 1. Fondements mathématiques On appelle matrice M un tableau à deux indices de n*m valeurs numériques extraites du même ensemble E. Exemple : Matrice Usuellement n et m sont le nombre de lignes et le nombre de colonnes de la matrice. Remarque : Si n = m la matrice est dite carrée. 22 1. Fondements mathématiques 1. Fondements mathématiques Matrice : Produit Matrice - Vecteur n) j 1 n, i 1 , (m avec n n x dimension de M carrée matrice une et n) i 1 , (v avec n dimension de V un vecteur Soient ij i ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤  V M W est V par M de produit vecteur Le    ∗ = n i 1 , 1 ≤ ≤ ∗ = ∑ = n k k ik ij v m w 23 1. Fondements mathématiques 1. Fondements mathématiques On calcule le produit de chaque ligne de la matrice par le vecteur colonne. Exemple : l = * 24 1. Fondements mathématiques 1. Fondements mathématiques Matrice : Produit Matrice – Matrice Soient deux matrices M1 et M2 de dimensions respectives : n x m et m x p. La matrice M produit de M1 par M2 est de dimension n x p, et elle est calculée par la formule suivante: p) j 1 n, i (1 , 2 1 1 ≤ ≤ ≤ ≤ ∗ = ∑ = m k kj ik ij m m m 25 1. Fondements mathématiques 1. Fondements mathématiques Exemple : Remarque : Si M1 et M2 sont deux matrices carrées de dimension n x n, le produit de M1 par M2 est une matrice carrée de dimension n x n * = 26 2. Transformations 2. Transformations Un espace vectoriel : espace où vivent les vecteurs (déplacements ou directions). Ses principales propriétés l’existence d’un vecteur nul, la stabilité de l’espace pour toute combinaison linéaire de vecteurs. 27 2. Transformations 2. Transformations Un espace affine : espace dans lequel vivent les points à partir desquels on définit les objets géométriques usuels (droites, ...). Il est construit : d’un point de référence (l’origine), d’un espace vectoriel (déplacements autorisés à partir de ce point 28 Déplacement d'un objet dans une scène. Déplacement d'un observateur par rapport à une scène. Réplication d'un motif ou d'un objet. Déformation d'un objet. Projection. etc. 2. Transformations 2. Transformations 29 2. Transformations 2. Transformations Un objet est décrit par un ensemble de sommets. Appliquer une transformation à un objet revient à l’appliquer à tous ses sommets. 30  Translation On note On note t t(a, b) (a, b) la translation qui applique un déplacement de : la translation qui applique un déplacement de : a a unités horizontalement unités horizontalement b b unités verticalement unités verticalement Donc pour chaque point P (x, y) , l’image devient P’ (x + Donc pour chaque point P (x, y) , l’image devient P’ (x + a a, y + , y + b b) pour ) pour une translation une translation t t(a, b) (a, b) . . t t (a, b) (a, b) : : P (x, y) P (x, y) P’ (x P’ (x + a + a, y , y + b + b) ) 2. Transformations 2. Transformations 31 + 2 + 2 1 1 1 1 Exemple #1 : Exemple #1 : t t(2. 5) (2. 5) 2 2 unités horizontalement unités horizontalement (vers la droite) (vers la droite) 5 5 unités verticalement unités verticalement (vers le haut) (vers le haut) A (-5, -2) uploads/Ingenierie_Lourd/ cours-infographie-2.pdf