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a2 pdf Table des matières Logarithme d ? un nombre complexe et périodicité de la fonction exponentielle complexe par Daniel Duverney Lycée Baggio Lille Introduction Dans un article récent paru dans la RMS Daniel Leborgne propose une démonstration très cou

Table des matières Logarithme d ? un nombre complexe et périodicité de la fonction exponentielle complexe par Daniel Duverney Lycée Baggio Lille Introduction Dans un article récent paru dans la RMS Daniel Leborgne propose une démonstration très courte de la relation e i Cette démonstration comme sa cons ?ur plus classique page page page introduit le nombre par une dé ?nition ad hoc de façon à obtenir le plus rapidement et le plus élégamment possible le résultat souhaité Dans le travail qui suit j ? ai voulu montrer que le nombre s ? introduit de manière naturelle lorsqu ? on essaie de dé ?nir le logarithme d ? un nombre complexe à partir du logarithme d ? un nombre réel positif Pour ce faire la méthode qui para? t la plus naturelle et que j ? ai suivie consiste à procéder comme pour l ? exponentielle c ? est à dire à partir d ? une série Malheureusement si la série entière de l ? exponentielle converge pour tout z il n ? en est pas de même de celle de ln z Nous partons donc d ? une autre série donnant lnx et convergeant pour tout x voir proposition ? Cette série permet de prolonger le logarithme népérien et c ? est en se posant la question de savoir jusqu ? o? on peut le prolonger qu ? apparaissent assez naturellement le nombre voir la formule et la propriété ei - proposition ? Nous procédons donc par prolongement analytique mais de la façon la plus élémentaire possible Nous examinons pour ?nir si la propriété fondamentale ln xy lnx lny se prolonge aux valeurs complexes de la variable et nous démontrons que est la plus petite période de la fonction x eix Ce travail constitue une introduction assez complète à ce qu ? on appelle la détermination principale du logarithme complexe Pour une autre introduction on consultera pour une présentation plus générale par exemple pour l ? aspect historique de la question et A ?n de faciliter une lecture rapide et d ? inciter le lecteur à la recherche le détail des démonstrations a été relégué dans le paragraphe suivant la présentation adoptée par P Ribenboim dans Nous supposons connues la fonction exp z zn ? n z C et sa propriété fondamentale ainsi que la fonction Arctan x ? t dt - nx n ? n x R pour la première Cégalité x - pour la deuxième Logarithmes des nombres complexes Nous voulons prolonger la fonction réelle x lnx dé ?nie sur aux valeurs complexes de la variable Nous cherchons un prolongement sous forme de série Pour cela nous commençons par exprimer ln x sous forme de série pour tout x On sait que ln t ? - t t n ? n si Posons formellement c ? est à dire sans nous préoccuper de problèmes de convergence x t ? - t alors t x - ? x et nous obtenons formellement Proposition x On notera que la