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2016-2017 CNAM - Paris MVA101 - Devoir n◦1 ` a rendre pour le lundi 10 avril au

2016-2017 CNAM - Paris MVA101 - Devoir n◦1 ` a rendre pour le lundi 10 avril au soir Exercice 1 On consid` ere la suite r´ eelle d´ eﬁnie par : un+1 = 1 2 un + 1 un u0 = 1 2 1. Montrer par r´ ecurrence que cette suite existe et est ` a termes strictement positifs. 2. On pose wn = un −1 un + 1 . Trouver une relation entre deux termes cons´ ecutifs de la suite wn. En d´ eduire la limite de wn et de vn quand n tend vers l’inﬁni. Exercice 2 A) On consid` ere la suite d´ eﬁnie par : vn+1 = √ 12 + vn v0 = 1 1. ´ Etudier la fonction f(x) = √ 12 + x sur l’intervalle [1, 4], puis d´ emontrer que 1 ⩽f(x) ⩽4 quand 1 ⩽x ⩽4 . En d´ eduire que vn est strictement compris entre 1 et 4 . 2. Si wn = 4 −vn, d´ emontrer que wn+1 < 1 4wn pour tout n . 3. En d´ eduire la limite de wn , puis de vn, quand n tend vers l’inﬁni. B) On consid` ere la s´ erie enti` ere : v0 + v1x + v2x2 + · · · 1. D´ eduire de la question A.1 que son rayon de convergence est inf´ erieur ou ´ egal ` a 1. 2. (facultative) D´ emontrer que son rayon de convergence est exactement 1. ****** uploads/Litterature/ 16-17-devoirmva101-1 2 .pdf