Processus aléatoires ENS Paris, 2013/2014 Bastien Mallein Bureau V2 TD 4 – Bore

Processus aléatoires ENS Paris, 2013/2014 Bastien Mallein Bureau V2 TD 4 – Borel-Cantelli, loi des grands nombres et quelques autres 27 février 2014 1 Quelques rappels sur Borel-Cantelli Exercice 1 (Série aux différences). Soit (Xn) une suite de variables aléatoires réelles. Montrer que s’il existe une suite (an) de réels positifs telle que P an < +∞et P P(|Xn+1 −Xn| > an) < +∞, alors la suite (Xn) converge presque sûrement. Démonstration. On applique le Lemme de Borel-Cantelli, presque sûrement il existe N ∈N tel que pour tout n ≥N, |Xn −Xn−1| ≤an. Par conséquent, la série P(Xn −Xn−1) est absolument convergente, donc convergente. Par conséquent (Xn) converge. Exercice 2 (Limite de Xn/n). Soit (Xn) une suite de variables aléatoires i.i.d. Montrer que Xn n →0 p.s. ⇐ ⇒E(|X1|) < +∞. Montrer également que si E(|X1|) = +∞, en posant Sn = X1 + · · · + Xn, lim sup n→+∞ |Sn| n = +∞. Démonstration. Soit ϵ > 0, on observe que +∞> E(|X1|) ≥E "+∞ X k=1 ϵ1{|X1|≥kϵ} # = ϵ +∞ X k=1 P(|Xk| ≥kϵ). En appliquant le lemme de Borel-Cantelli, on a lim supn→+∞ |Xn| n ≤ϵ, ce qui conclut. De la même façon, on a +∞= E(|X1|) ≤E "+∞ X k=0 A1{|X1|≥kA} # = +∞ X k=0 P(|Xk| ≥kA). Dès lors, on obtient lim supn→+∞ |Xn| n ≥A. De plus lim infn→+∞ Xn n = 0, donc la suite ne converge pas p.s. Pour la conséquence, on observe que si (|Xn|/n) est plus grand que A infiniment souvent, alors |Sn/n| est plus grand que A/2 infiniment souvent (soit avant le saut de A, soit après). 1 Exercice 3. Soit (Xn) une suite i.i.d. de variables aléatoires gaussiennes centrées réduites, on pose Sn = X1 + · · · + Xn. 1. Montrer que P(X1 ≥a) ∼a→+∞ 1 a √ 2πe−a2/2. Indication : On pourra utiliser que E  1{X1≥a} X2  = o(P(X1 ≥a)). 2. Déterminer la loi de Sn/√n. En déduire que si (an) est une suite de réels positifs telle que an/√n → +∞, alors Sn/an →0 en probabilité. Peut-on conclure pour la convergence p.s. ? Montrer que pour an = √n log n la convergence a lieu presque sûrement. 3. Montrer que lim sup n→+∞ Xn √2 log n = lim sup n→+∞ |Xn| √2 log n = 1 p.s. Démonstration. 1. On réalise une intégration par parties, on a Z +∞ a e−x2/2dx = Z +∞ a xe−x2/2 dx x = 1 ae−a2/2 + Z +∞ a 1 x2 e−x2/2dx, or 0 ≤ R +∞ a 1 x2 e−x2/2 ≤ 1 a2 R +∞ a e−x2/2dx ; on obtient l’équivalent. 2. On observe trivialement que Sn √n est une variable aléatoire gaussienne centrée réduite, en étudiant par exemple la fonction caractéristique. On en déduit les résultats suivants, car P(|Sn/an| > ϵ) = P(|X1| > ϵan/n1/2) →0. La convergence p.s. ne tient pas par exemple en utilisant an = √n log log n, mais la preuve en sera faite bien plus tard. En revanche pour an = n log n, c’est une conséquence des Exercice et question 1. 3. Une application de Borel-Cantelli nous donne facilement P  lim sup n→+∞ Xn √2 log n ∈(−∞, 1 −δ] ∪[1 + δ, +∞)  = 0, car +∞ X n=1 P(Xn ≥ p 2 log n(1 + δ)) < +∞ et +∞ X n=1 P(Xn ≥ p 2 log n(1 −δ)) = +∞. 2 Quelques identités en loi Exercice 4 (Une loi des grands nombres ?). On rappelle qu’une loi de Cauchy a pour densité 1 π(1+x2) par rapport à la mesure de Lebesgue. 1. Soit U une variable aléatoire réelle de loi uniforme sur [−π 2 , π 2 ]. Calculer la loi de tan U. 2. Que vaut E(tan U) ? 3. Soit Y une variable aléatoire réelle dont la loi est 1 2e−|y|dy. Calculer la fonction caractéristique de la loi de Y . 4. Soit X, X′ deux variables aléatoires réelles indépendantes de loi de Cauchy et λ, µ ∈R. Calculer la densité de la loi de λX + µX′, et celle de XX′. 2 5. Soit (Xn) une suite de variables aléatoires réelles i.i.d. de loi de Cauchy. Calculer la limite (en loi), quand n →+∞, de X1 + X2 + · · · + Xn n . Démonstration. 1. Par changement de variables, tan U est une loi de Cauchy. 2. Question piège : une loi de Cauchy n’a pas d’espérance, elle n’est pas dans L1. 3. De simples calculs montrent que ΨY (ξ) = 1 1 + ξ2 , par inversion L1, on a donc ΨX(ξ) = e−|ξ|. 4. On calcule E(eiξ(λX+µX′)) = e−|ξ|(|λ|+|µ|), donc λX + µX′ est une loi de Cauchy multipliée par |λ| + |µ|, dont la densité est |λ|+|µ| π(x2+(|λ|+|mu|)2 dx. La densité de XX′ s’obtient par des calculs directs : 2 log |x| π2(x2−1). 5. On observe que X1+···+Xn n est une loi de Cauchy, par conséquent, la suite converge en loi vers une loi de Cauchy. C’est un exemple où la loi des grands nombres ne marche pas, les fluctuations p.s. ayant lieu à l’échelle n. Il existe toute une variété de loi, appelées loi stables, dont la suite des sommes partielles possède des fluctuations typiques d’ordre n1/α, α ∈[1, 2]. On a un « type de théorème de limite centrale » pour chacune des valeurs de α. Exercice 99 (Le chevalier de Méré). Ange et Morgane jouent à pile ou face de la façon suivante : le premier à obtenir 5 victoires remporte 144 pistoles. Hélas, le caïman les interrompt alors que le score est de 3 à 2. Comment doivent-ils se partager l’argent ? Même question si les 5 victoires doivent être consécutives, et que Morgane vient de gagner 2 fois d’affilée, après une victoire d’Ange. Exercice 5 (Loi des records). Soit (Xn) une suite de variables aléatoires réelles indépendantes et positives de même fonction de répartition F supposée continue. On pose N = inf{n ∈N : Xn > X0} et Y = XN. 1. Calculer la loi de N et son espérance. 2. Calculer la loi jointe de (Y, N), en déduire la fonction de répartition de Y et celle de F(Y ). Démonstration. 1. On observe que P(N > n) = P(X1 ≤X0, · · · Xn ≤X0) = E Z +∞ 0 P(X1 ≤x, · · · Xn ≤x)dF(x)  = Z +∞ 0 F(x)ndF(x) =  F(x)n+1+∞ 0 n + 1 , par conséquent P(N = n) = 1 n − 1 n+1 = 1 n(n+1). La loi de N ne dépend pas de la distribution des Xj. De plus, E(N) = +∞. 3 2. De la même façon que précédemment, on a P(N = n, Y < y) = P(X1 ≤X0, · · · Xn−1 ≤X0, X0 ≤Xn < y) = Z y 0 F(x)n−1(F(y) −F(x))dF(x) = F(y)n+1 n(n + 1). Par conséquent, P(Y < y) = +∞ X n=1 F(y)n+1 n(n + 1) = F(y) −(1 −F(y)) ln(1 −F(y)), et P(F(Y ) < u) = u −(1 −u) ln(1 −u). 3 Variations sur la loi des grands nombres Exercice 6 (Somme de variables aléatoires pas indépendantes). Soit (λn, n ≥1) une suite strictement croissante d’entiers, U une variable aléatoire de loi uniforme, et Xn = cos(2πλnU). On pose Sn = X1+· · ·+Xn. 1. Montrer que P( Sn n > ϵ) ≤Cϵn−1 puis que Sn2/n2 →0 p.s. 2. Montrer que maxn2≤m<(n+1)2 Sm m −Sn2 n2 ≤2(2n+1) n2 . 3. En déduire que Sn/n →0 p.s. Démonstration. La clé de cet exercice est d’observer que E(XpXq) = δp,q par conséquent, en utilisant l’inégalité de Markov P  Sn n > ϵ  ≤E(S2 n) n2ϵ ≤1 nϵ. Borel-Cantelli garantit donc la convergence p.s. de la suite Sn2/n2. On observe maintenant que Sm m −Sn2 n2 = n2Sm −mSn2 mn2 = Sm −Sn2 n2 + (n2 −m)Sm mn2 . En utilisant que les Xj sont des variables aléatoires à valeurs dans [−1, 1], on peut conclure. En mettant en commun les question 1 et 2, on obtient bien la convergence presque sûre de la suite. Exercice 7 (Loi forte des grands nombres). Soit (Xn) des variables aléatoires i.i.d. centrées avec un moment d’ordre 4 fini. On note Sn = X1 + · · · + Xn. Calculer E(S4 n), et en déduire que Sn/n converge p.s. vers 0. Démonstration. On a P(|Sn| ≥nϵ) ≤E(S4 n) ϵ4n4 ≤nE(X4 1) + n2E(X2 1)2 ϵ4n4 et on conclut grâce à la loi des grands nombres. 4 uploads/Litterature/ corrige-4.pdf

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