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www.rblld.fr ECS2 – Lycée La Bruyère, Versailles version du dimanche 21 avril 2019 11:18 ECRICOME 2019 S Éléments de correction Premier exercice 1. Pour n ∈N∗, In est l’intégrale de la fonction t 7− →(cos t)n, continue sur le segment [0, π 2 ]. Il vient : I0 = ˆ π/2 0 dt = π 2 , I1 = ˆ π/2 0 cos t dt = 1 et, par linéarisation, I2 = ˆ π/2 0 cos2 t dt = ˆ π/2 0 1 + cos 2t 2 dt = π 4 . 2. a. Pour n ∈N et t ∈[0, π 2 ], on a 0 ⩽cos t ⩽1 si bien que 0 ⩽cosn+1 t ⩽cosn t puis, par croissance de l’intégrale, 0 ⩽In+1 ⩽In. Ainsi la suite (In) est décroissante et minorée par 0, et par suite convergente. b. Par intégration par parties, il vient pour n ∈N, en dérivant t 7− →cosn+1 t et en primitivant t 7− → cos t : In+2 = ˆ π/2 0 cosn+1 t cos t dt =  cosn+1 t sin t π/2 0 + (n + 1) ˆ π/2 0 sin2 t cosn t dt = (n + 1) ˆ π/2 0 (1 −cos2 t) cosn t dt = (n + 1)(In −In+2). Il en ressort que : ∀n ∈N, In+2 = n + 1 n + 2In. (1) c. Les formules proposées peuvent être justifiées par récurrence à partir de (1). Elles sont correctes pour n = 0 d’après 1. et, si elles sont acquises pour un entier n donné, alors I2n+2 = 2n + 1 2n + 2I2n = 2n + 2 2n + 2 2n + 1 2n + 2 (2n)! (2nn!)2 π 2 = (2n + 2)! 2n+1(n + 1)! 2 π 2 et I2n+3 = 2n + 2 2n + 3I2n+1 = 2n + 2 2n + 3 2n + 2 2n + 2 (2nn!)2 (2n + 1)! = 2n+1(n + 1)! 2 (2n + 3)! , ce qui constitue le résultat au rang n + 1. d. Le script ci-dessous s’appuie sur la relation de récurrence établie en b.. Listing 1 : calcul des premiers termes de la suite (In) function y=I(n) u=zeros(1,2n+2); u(0)=%pi/2; u(1)=1; for k=1:n u(2*k)=(2*k-1)/(2*k)*u(2*k-2); u(2*k+1)=(2*k)/(2*k+1)*u(2*k-1); end y=u; endfunction Remarque. Le sujet ne semble pas prendre en compte le fait que Scilab n’autorise pas la numérotation des éléments d’un vecteur à partir de 0, et il aurait donc fallu gérer un décalage dans la numérota- tion... 3. a. On a cos x −1 ∼−x2 2 , x →0 et ln(1 + u) ∼u, u →0. www.rblld.fr ECS2 – Lycée La Bruyère, Versailles ECRICOME 2019 S – 2 b. Puisque cos 1 n1/4 →1, il vient (on peut composer à l’intérieur mais pas à l’extérieur) : n ln  cos 1 n1/4  ∼n  cos 1 n1/4 −1  ∼n  − 1 2n1/2  = −1 2 √n →−∞, n →∞. Par suite,  cos 1 n1/4 n = exp h n ln  cos 1 n1/4 i →0, n →∞. c. On obtient de même : n ln  cos 1 n2/3  ∼−1 2 1 n1/3 →0, n →∞ puis  cos 1 n2/3 n − − − → n→∞1. 4. On note εn = 1 n1/4 ∈]0, π 2 ] pour tout n ∈N∗. a. En utilisant l’encadrement 0 ⩽cos t ⩽1 pour t ∈[0, π 2 ], il vient directement : ∀n ∈N∗, ˆ εn 0 cosn t dt ⩽εn. b. Par décroissance et positivité de cos sur [0, π 2 ], ∀n ∈N∗, ˆ π/2 εn cosn t dt ⩽ ˆ π/2 εn cosn εn dt ⩽π 2 cosn εn. c. D’après a., b. et 3.b., ∀n ∈N∗, 0 ⩽In = ˆ εn 0 cosn t dt + ˆ π/2 εn cosn t dt ⩽ 1 n1/4 + π 2  cos 1 n1/4 n − − − → n→∞0, si bien que (In) converge vers 0 par encadrement. 5. a. En posant δn = 1 n2/3 ∈]0, π 2 ] pour tout n ∈N∗, on montre de même, par décroissance et positivité de cos sur [0, π 2 ], et positivité de l’intégrale, que : ∀n ∈N∗, In ⩾ ˆ δn 0 cosn t dt ⩾ ˆ δn 0 cosn δn dt = δn cosn δn ⩾0. Puisque δn cosn δn ∼δn d’après 3.c., la série P δn cosn δn est divergente par comparaison à la série de Riemann divertente P 1 n2/3 ( 2 3 ⩽1), et il en ressort que la série P In est également divergente. b. Le script ci-dessous convient : Listing 2 : calcul des premiers termes de la suite (In) function y=SPI(n) u=I(n); y=sum(u(0:n)); endfunction où le vecteur u(0:n) est le sous-vecteur de u composé des éléments d’indices 0, . . . , n (avec les mêmes réserves que dans la remarque suivant la question 2.d.). Pour éviter des calculs inutiles, il suffit de considérer u=I(floor(n/2)). 6. a. Il vient : ∀t ∈]−π, π[, 2 1 + tan2 t 2 = 2 cos2 t 2 cos2 t 2 + sin2 t 2 = 1 + cos t. b. Par changement de variable u = tan t 2, on obtient d’après a. : ˆ π/2 0 dt 1 + cos t = ˆ π/2 0  1 + tan2 t 2  dt 2 = ˆ 1 0 du = 1. www.rblld.fr ECS2 – Lycée La Bruyère, Versailles ECRICOME 2019 S – 3 c. Pour n ∈N, il vient par linéarité de l’intégrale et sommation géométrique finie de raison −cos t ̸= 1 : n P k=0 (−1)kIk = ˆ π/2 0  n P k=0 (−cos t)k dt = ˆ π/2 0 1 −(−cos t)n+1 1 + cos t dt = ˆ π/2 0 dt 1 + cos t + (−1)n ˆ π/2 0 cosn+1 t 1 + cos t dt d. Pour n ∈N, en écrivant que 1 + cos t ⩾1 pour tout t ∈[0, π 2 ], il vient : 0 ⩽ ˆ π/2 0 cosn+1 t 1 + cos t dt ⩽ ˆ π/2 0 cosn+1 t dt = In+1, d’où le résultat. e. En s’appuyant sur 4.c., on déduit par encadrement de d. que lim n→∞ ˆ π/2 0 cosn+1 t 1 + cos t dt = 0, si bien que la suite des sommes partielles de la série P(−1)nIn est convergente d’après c.. Ceci justifie la convergence de la série P(−1)nIn, avec : ∞ P n=0 (−1)nIn = ˆ π/2 0 dt 1 + cos t = 1 d’après b.. Deuxième exercice 1. On obtient immédiatement S2 = I3. Ainsi le polynôme X2 −1 est-il annulateur de S, et les valeurs propres de S en sont donc racines. Les réels 1 et −1 sont donc les seules valeurs propres éventuelles de la matrice S. Réciproquement, rg(M −I3) = rg   −1 0 1 0 0 0 1 0 −1  = 1 < 3 et rg(M + I3) = rg   1 0 1 0 2 0 1 0 1  = 2 < 3, si bien que 1 et −1 sont valeurs propres de S. En conclusion, les valeurs propres de la matrice S sont 1 et −1. 2. Pour X = tx y z  ∈M3,1(R), SX = X ⇐ ⇒   x y z  =   z y x   ⇐ ⇒ X ∈F ⇐ ⇒ x = z ⇐ ⇒ X = x   1 0 1  + y   0 1 0  . Il en ressort que le sous-espace propre de S pour la valeur propre 1 est le sous-espace F et qu’il est engendré par les vecteurs t1 0 1  et t0 1 0  . Comme ces derniers sont linéairement indépendants, ils en forment une base. De même, SX = −X ⇐ ⇒   x y z  = −   z y x   ⇐ ⇒ X ∈G ⇐ ⇒ z = −x y = 0 ⇐ ⇒ X = x   1 0 −1  . www.rblld.fr ECS2 – Lycée La Bruyère, Versailles ECRICOME 2019 S – 4 Le sous-espace propre de S pour la valeur propre −1 est donc égal à G et admet pour base la famille formée du vecteur t1 0 −1  . 3. Les sous-espaces F et G, en tant que sous-espaces propres de S pour des valeurs propres distinctes, sont en somme directe. Sachant par ailleurs que dim F + dim G = 3 d’après 2., on en déduit qu’ils sont supplémentaires dans M3,1(R) : F ⊕G = M3,1(R). 4. a. La matrice S =       0 · · · 0 1 . . . ... ... 0 0 ... ... . . . 1 0 · · · 0       est symétrique réelle donc diagonalisable. b. En notant X = (xi)1⩽i⩽n ∈Mn,1(R), uploads/Litterature/ 2019-ecricome-corrige.pdf

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