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ECOLE SUPERIEURE DE STATISTIQUE ET D’ANALYSE DE L’INFORMATION ( ESSAIT) Cours d

ECOLE SUPERIEURE DE STATISTIQUE ET D’ANALYSE DE L’INFORMATION ( ESSAIT) Cours de méthodes de simulation Préparé par Hassen MATHLOUTHI Année universitaire 2014-2015 Cours de Méthodes de Simulation ___________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ Hassen Mathlouthi ESSAIT Université de Carthage 2 AVANT PROPOS Ce document propose un cours sur les méthodes de simulation aléatoire. Il est le résultat de l’enseignement de ce module durant ces dernières années à l’Ecole de Statistique et d’Analyse de l’Information. Pour une bonne compréhension des méthodes proposées, ce cours doit être accompagné d’exercices aussi bien de travaux dirigés ainsi que de travaux pratiques. A cet effet, nous donnons à la fin du document les énoncés des épreuves des examens des années 2008 à 2014. Ce cours reste néanmoins très incomplet. Il ne traite en effet que quelques une des méthodes usuelles de simulation aléatoire. En particulier, les méthodes de type MCMC (chaine de Markov- Monte Carlo) ne sont pas examinées. Ces autres méthodes devraient être aussi étudiées par tout lecteur cherchant à approfondir ses connaissances en la matière. Il reste également assez théorique. En effet, les considérations d’ordre pratique liées notamment à la programmation informatique ne sont que partiellement ou pas du tout abordées. D’autre part et quoique ayant fait l’objet de plusieurs lectures et de vérifications, le risque de présence d’erreurs mathématiques (et d’erreurs de langue aussi) n’est pas nul. Je serais très reconnaissant aux lecteurs me signalant les éventuelles erreurs ou incompréhensions. Cours de Méthodes de Simulation ___________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ Hassen Mathlouthi ESSAIT Université de Carthage 3 Table de matières Désignation Page Avant propos 1 Chapitre1 : Introduction générale 4  1. Présentation  2. Démarche pratique  3. Application  4. Concepts et outils de base  5. Plan du cours et bibliographie 4 6 6 7 9 Chapitre 2 : Simulation de la loi uniforme standard 10  1. Généralités  2. Les générateurs de congruence  3. Les tests statistiques 10 12 17 Chapitre 3 : Simulation des lois non uniformes à une seule dimension 25  1. Généralités  2. La méthode d’inversion  3. Simulation de la loi normale  4. La méthode de transformation  5. La méthode de rejet 25 26 30 32 33 Chapitre 4 : Simulation des vecteurs aléatoires 39  1. Simulation en cas de loi jointe donnée  2. Simulation de la loi normale multidimensionnelle  3. La méthode de la copule 39 42 44 Chapitre 5 : La méthode de Monte Carlo 48  1. Fondement mathématique  2. Calcul pratique  3. Propriétés  4. Réduction de la variance 48 51 52 54 Recueils de sujets d’examens 59 Cours de Méthodes de Simulation ___________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ Hassen Mathlouthi ESSAIT Université de Carthage 4 Chapitre 1 INTRODUCTION GENERALE Plusieurs applications scientifiques ont besoin de nombres choisis au hasard comme données nécessaires à leur fonctionnement. Ces nombres sont couramment appelés nombres aléatoires. Comme exemples d’applications demandant ces nombres, nous citons en particulier  La conception de programmes informatiques de jeux du hasard  Les techniques de sélection probabiliste d’échantillons dans une population  Les techniques de cryptologie (méthodes d’affectation de codes numériques cachés comme dans le cas des cartes de recharges téléphoniques).  etc. Ce cours a pour objet de présenter certaines des méthodes permettant de simuler la génération de tels nombres. Dans cette introduction générale, nous donnons une présentation sommaire de ces méthodes, de leur démarche méthodologique ainsi que de leur principale utilisation en statistique. 1. PRESENTATION Un nombre aléatoire est à priori une des valeurs prises par une certaine variable aléatoire réelle. En conséquence, pour avoir un nombre aléatoire, on n’a que réaliser l’expérience aléatoire qui convient, noter son résultat et déterminer son image par une variable aléatoire adéquate. C’est cette image qui constitue le nombre aléatoire demandé. Ainsi par exemple, si une application nécessite, disons dix nombres aléatoires valant 0 ou 1 avec une probabilité égale à ½ chacun, on peut par exemple réaliser 10 fois l’expérience aléatoire consistant à jeter au hasard une pièce de monnaie et prendre le nombre 0 si le résultat est « Face » et le nombre 1 sinon. Cours de Méthodes de Simulation ___________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ Hassen Mathlouthi ESSAIT Université de Carthage 5 Ce procédé de génération de nombres aléatoires qu’on peut qualifier de matériel est évidemment le plus naturel. Il présente cependant des limites importantes en pratique. Parmi ces limites citons notamment :  Il est difficile de l’utiliser lorsque la quantité de nombres aléatoires demandés est importante. Or la plupart des applications concernées nécessitent souvent des milliers sinon des dizaines ou des centaines de milliers de nombres aléatoires.  Ce procédé est même impossible à réaliser lorsqu’on ne connait pas la nature de l’expérience aléatoire sous jacente ou la définition de la variable aléatoire considérée. C’est le cas notamment de nombres aléatoires issus de variables aléatoires continues. Ces limites ont conduit les utilisateurs, notamment avec l’avènement de l’ère informatique, à concevoir et mettre en œuvre d’autres procédés de génération de nombres aléatoires utilisables dans leurs applications. Parmi ces autres procédés, les procédés de type algorithmique qui constituent l’objet de ce cours sont d’une grande utilisation pratique. Les méthodes algorithmiques de génération de nombres aléatoires se présentent comme des formules mathématiques permettant de disposer d’une suite de nombres qu’on peut considérer comme étant choisi au hasard selon une loi de probabilité donnée. Ainsi, au lieu de réaliser matériellement une expérience aléatoire pour obtenir un nombre aléatoire, on procède à sa détermination en calculant une formule mathématique. Du fait de leur caractère mathématique, les méthodes algorithmiques peuvent faire l’objet de programmation informatique, ce qui permet d’obtenir très rapidement autant qu’on veut de nombres aléatoires. Dans la pratique, on fait en effet tourner un certain programme informatique autant de fois qu’on veut de nombres aléatoires. Il convient cependant de noter que de part leur construction, il est impossible d’obtenir avec les méthodes algorithmiques de nombres aléatoires. En effet, ces méthodes consistent en l’application d’une formule mathématique. La connaissance de cette formule permet ainsi de connaitre au préalable le nombre que ces méthodes donnent, ce qui est contraire à la définition même d’un nombre aléatoire. En effet, un nombre aléatoire est par définition non prévisible. Néanmoins, malgré l’impossibilité d’obtenir de véritables nombres aléatoires avec les méthodes algorithmiques, les améliorations continues qu’ont connues ces méthodes ont conduit à l’obtention de nombres qui ressemblent dans plusieurs aspects à des vrais nombres aléatoires. Cours de Méthodes de Simulation ___________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ Hassen Mathlouthi ESSAIT Université de Carthage 6 Aussi, appelle- t- on ces méthodes de méthodes de simulation aléatoire et les nombres qu’elles produisent des nombres pseudo-aléatoires ou des nombres simulés. On parle aussi d’échantillon artificiel pour un ensemble de nombres fournis par ces méthodes. 2. DEMARCHE GENERALE Dans les applications, les générateurs algorithmiques permettent seulement de simuler des valeurs d’une variable X suivant la loi uniforme continue sur l’intervalle [0,1]. Pour la simulation d’une variable aléatoire Y suivant une autre loi de probabilité, on n’a pas besoin de générateurs particuliers. Il suffit de trouver la relation liant cette variable et la variable X. Or cette relation existe toujours. En effet, selon un résultat mathématique, toute variable aléatoire Y peut s’écrire comme une certaine fonction de variables aléatoires réelles X1, X2, …, Xi ,…,Xp suivant chacune une loi uniforme continue sur l’intervalle [0,1] : Y = Y(X1, X2, …, Xi ,…, Xp) En conséquence, pour avoir n valeurs simulées d’une variable Y étant donné sa loi de probabilité, on procède ainsi :  Détermination de la fonction Y : La théorie de probabilité propose à cet effet plusieurs résultats permettant d’aider à la détermination de cette fonction. Ce volet fera l’objet du troisième chapitre de ce cours.  Génération de np valeurs simulées de la loi uniforme continue sur [0,1] : (x11, x21, …, xi1 ,…, xp1) , (x12, x22, …, xi2 ,…, xp2), …,(x1n, x2n, …, xin ,…, xpn)  Calculer simplement : yi = Y(x1i, x2i, …, xii ,…, xpi) pour i = 1 à n 3. APPLICATIONS Outre les applications générales sus indiquées, la simulation de nombres aléatoires trouvent leur application dans un grand domaine des mathématiques et des statistiques qui est le calcul intégral approché. Cette application porte le nom de la méthode de Monte Carlo En particulier, les caractéristiques d’une loi de probabilité comme entre autres l’espérance mathématique et la variance, ou la probabilité attachée à un intervalle donnée, se présentent comme des intégrales et peuvent ainsi être approchés en Cours de Méthodes de Simulation ___________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ Hassen Mathlouthi ESSAIT Université de Carthage 7 appliquant la méthode de Monte Carlo sur un certain nombre de valeurs simulées issues de la loi de probabilité considérée. En général, chaque fois qu’on peut tolérer une certaine marge d’erreur, on peut utiliser les techniques de simulation pour disposer de nombres aléatoires. C’est le cas en général du calcul de probabilités. Mais une telle utilisation serait à priori non permise pour les applications de cryptologie par exemple. 4. CONCEPTS ET OUTILS DE BASE Les concepts et outils utilisés sont ceux du calcul de probabilité. Il s’agit notamment uploads/Litterature/ cours-simulation.pdf