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N. BOURBAKI ÉLÉMENTS DE MATHÉMATIQUE N. BOURBAKI ÉLÉMENTS DE MATHÉMATIQUE ALGÈB

N. BOURBAKI ÉLÉMENTS DE MATHÉMATIQUE N. BOURBAKI ÉLÉMENTS DE MATHÉMATIQUE ALGÈBRE Chapitres 1 à 3 Springer 2ème ed. Réimpression inchangée de l'édition originale de 1970 © Masson, Paris 1970 © N. Bourbaki, 1981 © N Bourbaki et Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2007 ISBN-10 3-540-33849-7 Springer Berlin Heidelberg New York ISBN-13 978-3-540-33849-9 Springer Berlin Heidelberg New York Tous droits de traduction, de reproduction et d'adaptation réservés pour tous pays. La loi du 11 mars 1957 interdit les copies ou les reproductions destinées à une utilisation collective. Toute représentation, reproduction intégrale ou partielle faite par quelque procédé que ce soit, sans le consentement de l'auteur ou de ses ayants cause, est illicite et constitue une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du Code pénal. Springer est membre du Springer Science+Business Media springer.com Maquette de couverture: WMXDesign GmbH, Heidelberg Imprimé sur papier non acide 41/3100/YL - 5 4 3 2 1 0 - Mode d'emploi de ce traité NOUVELLE ÉDITION Le 1. liane pi eau les nla Lilenla Llques a ieui ucoul, Ci uoune ues LIC111011$11a- fions complètes. Sa lecture ne suppose donc, en principe, aucune connaissance mathématique particulière, mais seulement une certaine habitude du raisonne- ment mathématique et un certain pouvoir d'abstraction. Néanmoins, le traité est destiné plus particulièrement à des lecteurs possédant au moins une bonne connaissance des matières enseignées dans la première ou les deux premières années de l'Université. 2. Le mode d'exposition suivi est axiomatique et procède le plus souvent du général au particulier. Les nécessités de la démonstration exigent que les chapitres se suivent, en principe, dans un ordre logique rigoureusement fixé. L'utilité de certaines considérations n'apparaîtra donc au lecteur qu'à la lecture de chapitres ultérieurs, à moins qu'il ne possède déjà des connaissances assez étendues. 3. Le traité est divisé en Livres et chaque Livre en chapitres. Les Livres actuellement publiés, en totalité ou en partie, sont les suivants : Théorie des Ensembles désigné par E Algèbre 3) A Topologie générale TG Fonctions d'une variable réelle FVR Espaces vectoriels topologiques 33 EVT Intégration INT Algèbre commutative )3 AC Variétés différentielles et analytiques )3 VAR Groupes et algèbres de Lie LIE Théories spectrales )3 TS Dans les six premiers Livres (pour l'ordre indiqué ci-dessus), chaque énoncé ne fait appel qu'aux définitions et résultats exposés précédemment dans ce Livre ou dans les Livres antérieurs. A partir du septième Livre, le lecteur viii MODE D'EMPLOI DE CE TRAITÉ trouvera éventuellement, au début de chaque Livre ou chapitre, l'indication précise des autres Livres ou chapitres utilisés (les six premiers Livres étant toujours supposés connus). 4. Cependant, quelques passages font exception aux règles précédentes. Ils sont placés entre deux astérisques: * . . . *. Dans certains cas, il s'agit seulement de faciliter la compréhension du texte par des exemples qui se réfèrent à des faits que le lecteur peut déjà connaître par ailleurs. Parfois aussi, on utilise, non seulement les résultats supposés connus dans tout le chapitre en cours, mais des résultats démontrés ailleurs dans le traité. Ces passages seront employés librement dans les parties qui supposent connus les chapitres où ces passages sont insérés et les chapitres auxquels ces passages font appel. Le lecteur pourra, nous l'espérons, vérifier l'absence de tout cercle vicieux. 5. A certains Livres (soit publiés, soit en préparation) sont annexés des fascicules de résultats. Ces fascicules contiennent l'essentiel des définitions et des résultats du Livre, mais aucune démonstration. 6. L'armature logique de chaque chapitre est constituée par les définitions, les axiomes et les théorèmes de ce chapitre; c'est là ce qu'il est principalement nécessaire de retenir en vue de ce qui doit suivre. Les résultats moins impor- tants, ou qui peuvent être facilement retrouvés à partir des théorèmes, figurent sous le nom de « propositions », « lemmes », « corollaires », « remarques », etc.; ceux qui peuvent être omis en première lecture sont imprimés en petits caractères. Sous le nom de « scholie », on trouvera quelquefois un commentaire d'un théorème particulièrement important. Pour éviter des répétitions fastidieuses, on convient parfois d'introduire certaines notations ou certaines abréviations qui ne sont valables qu'à l'inté- rieur d'un seul chapitre ou d'un seul paragraphe (par exemple, dans un chapitre où tous les anneaux considérés sont commutatifs, on peut convenir que le mot « anneau » signifie toujours « anneau commutatif »). De telles conventions sont explicitement mentionnées à la tête du chapitre dans lequel elles s'appliquent. 7. Certains passages sont destinés à prémunir le lecteur contre des erreurs graves, où il risquerait de tomber; ces passages sont signalés en marge par le signe Z (« tournant dangereux »). 8. Les exercices sont destinés, d'une part, à permettre au lecteur de vérifier qu'il a bien assimilé le texte; d'autre part à lui faire connaître des résultats qui n'avaient pas leur place dans le texte; les plus difficiles sont marqués du signe ¶. 9. La terminologie suivie dans ce traité a fait l'objet d'une attention parti- culière. On s'est efforcé de ne jamais s'écarter de la terminologie reçue sans de très sérieuses raisons. 10. On a cherché à utiliser, sans sacrifier la simplicité de l'exposé, un langage rigoureusement correct. Autant qu'il a été possible, les abus de MODE D'EMPLOI DE CE TRAITÉ ix langage ou de notation, sans lesquels tout texte mathématique risque de devenir pédantesque et même illisible, ont été signalés au passage. 11. Le texte étant consacré à l'exposé dogmatique d'une théorie, on n'y trouvera qu'exceptionnellement des références bibliographiques; celles-ci sont groupées dans des Notes historiques. La bibliographie qui suit chacune de ces Notes ne comporte le plus souvent que les livres et mémoires originaux qui ont eu le plus d'importance dans l'évolution de la théorie considérée; elle ne vise nullement à être complète. Quant aux exercices, il n'a pas été jugé utile en général d'indiquer leur provenance, qui est très diverse (mémoires originaux, ouvrages didactiques, recueils d'exercices). 12. Dans la nouvelle édition, les renvois à des théorèmes, axiomes, défini- tions, remarques, etc. sont donnés en principe en indiquant successivement le Livre (par l'abréviation qui lui correspond dans la liste donnée au n° 3), le chapitre et la page où ils se trouvent. A l'intérieur d'un même Livre la mention de ce Livre est supprimée; par exemple, dans le Livre d'Algèbre, E, III, p. 32, cor. 3 renvoie au corollaire 3 se trouvant au Livre de Théorie des Ensembles, chapitre III, page 32 de ce chapitre; II, p. 23, Remarque 3 renvoie à la Remarque 3 du Livre d'Algèbre, chapitre II, page 23 de ce chapitre. Les fascicules de résultats sont désignés par la lettre R; par exemple: EVT, R signifie « fascicule de résultats du Livre sur les Espaces vectoriels topolo- giques Comme certains Livres doivent seulement être publiés plus tard dans la nouvelle édition, les renvois à ces Livres se font en indiquant successivement le Livre, le chapitre, le paragraphe et le numéro où se trouve le résultat en question; par exemple: AC, III, § 4, n° 5, cor, de la prop. 6. Au cas où le Livre cité a été modifié au cours d'éditions successives, on indique en outre l'édition. INTRODUCTION Faire de l'Algèbre, c'est essentiellement calculer, c'est-à-dire effectuer, sur des éléments d'un ensemble, des « opérations algébriques », dont l'exemple le plus connu est fourni par les « quatre règles » de l'arithmétique élémentaire. Ce n'est pas ici le lieu de retracer le lent processus d'abstraction progressive par lequel la notion d'opération algébrique, d'abord restreinte aux entiers naturels et aux grandeurs mesurables, a peu à peu élargi son domaine, à mesure que se généralisait parallèlement la notion de « nombre », jusqu'à ce que, dépassant cette dernière, elle en vînt à s'appliquer à des éléments qui n'avaient plus aucun caractère « numérique », par exemple aux permutations d'un en- semble (voir Note historique de chap. I). C'est sans doute la possibilité de ces extensions successives, dans lesquelles la forme des calculs restait la même, alors que la nature des êtres mathématiques soumis à ces calculs variait considérable- ment, qui a permis de dégager peu à peu le principe directeur des mathé- matiques modernes, à savoir que les êtres mathématiques, en eux-mêmes, im- portent peu: ce qui compte, ce sont leurs relations (voir Livre I). Il est certain, en tout cas, que l'Algèbre a atteint ce niveau d'abstraction bien avant les autres parties de la Mathématique, et il y a longtemps déjà qu'on s'est accoutumé à la considérer comme l'étude des opérations algébriques, indépendamment des êtres mathématiques auxquels elles sont susceptibles de s'appliquer. Dépouillée de tout caractère spécifique, la notion commune sous-jacente aux opérations algébriques usuelles est fort simple: effectuer une opération algé- brique sur deux éléments a, b d'un même ensemble E, c'est faire correspondre au couple (a, b) un troisième élément bien déterminé c de l'ensemble E. Autre- xii INTRODUCTION ment dit, il n'y a rien de plus dans cette notion que celle de fonction: se donner une opération algébrique, c'est se donner une fonction, définie dans E x E, et prenant ses valeurs dans E; la seule particularité réside dans uploads/Litterature/ algebre-chapitres-1-a-3 1 .pdf