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Ch. de Pinchat 22 1227 Carouge ( 022 546 45 50) R o g e r F o g g i a t o 2005

Ch. de Pinchat 22 1227 Carouge ( 022 546 45 50) R o g e r F o g g i a t o 2005 CM 06 D I V I S I O N M O Y E N N E A l g o r i t h m e s d e c a l c u l : l e s q u e l s e n s e i g n e r ? L ’ e s t i m a t i o n Octobre 2005 S O M M A I R E 1. AVANT-PROPOS .......................................................................................................... 3 2. INTRODUCTION ........................................................................................................ 5 2.1 LES RÉPERTOIRES MÉMORISÉS ............................................................................. 7 2.2 LE CALCUL RÉFLÉCHI .............................................................................................. 9 2.3 LA CALCULATRICE ................................................................................................... 11 3. LES ALGORITHMES DE CALCUL .......................................................................... 13 3.1 L’ALGORITHME DE L’ADDITION .............................................................................. 15 3.2 L’ALGORITHME DE LA SOUSTRACTION ................................................................. 19 3.3 L’ALGORITHME DE LA MULTIPLICATION ............................................................... 21 3.4 L’ALGORITHME DE LA DIVISION ............................................................................ 27 3.5 LES ALGORITHMES DE CALCUL : CONCLUSION ..................................................... 31 4. L’ESTIMATION ........................................................................................................... 33 4.1 L’APPROXIMATION : QUELQUES RAPPELS ............................................................. 35 4.2 QUELQUES EXEMPLES DE SITUATIONS … ............................................................ 39 4.2.1 … À PROPOSER DÈS LA 1P ................................................................................... 41 4.2.2 … À PROPOSER DÈS LA 3P .................................................................................. 43 4.2.3 … À PROPOSER DÈS LA 5P .................................................................................. 47 4.3 L’ESTIMATION : CONCLUSION ............................................................................... 55 5. QUELQUES POINTS DE REPÈRE ........................................................................ 57 octobre 2005 3 1. AVANT-PROPOS Suite à l’introduction échelonnée entre 1996 et 2002 des derniers moyens d’enseignement des mathématiques, les outils de calcul - et plus particulièrement les algorithmes de calcul - ont généré des interprétations et des pratiques aussi nombreuses que diverses. Partant de ce constat, et dans un souci d’homogénéisation relative aux algorithmes de calcul à enseigner, le secteur des mathématiques a pris un certain nombre d’options définies dans le présent document. On y trouve également : quelques rappels importants sur les autres outils de calcul, un chapitre consacré à l’estimation, quelques points de repère sous forme de mise en relation de procédures de calcul avec les opérations, les nombres et les degrés en jeu. Ce document s’appuie pour l’essentiel sur les commentaires didactiques 1 (pages jaunes), les différents livres du maître des moyens d’enseignement 2 et le plan d’études 3 qui restent les ouvrages de référence officiels. Un grand merci à Anne Audéoud, Muriel Corthésy, Mireille Ducrest, Françoise Hirsig, Jean- Pierre Bugnon et Éric Burdet pour la qualité de leur relecture et de leurs remarques. 1 Apprentissage et enseignement des mathématiques / Commentaires didactiques sur les moyens d’enseignement pour les degrés 1 à 4 de l’école primaire / Alain Gagnebin - Ninon Guignard - François Jaquet / COROME 1998 2 Moyens d’enseignement de la Suisse romande pour les degrés 1 à 6 de l’école primaire / COROME 1996 à 2002 3 Plan d’études romand de mathématiques / Degrés 1 à 6 / COROME 1997 octobre 2005 4 octobre 2005 5 2. INTRODUCTION Définir quelques éléments d’orientation à propos des outils de calcul, et plus particulièrement des algorithmes de calcul, impose un certain nombre de rappels : l’apprentissage des mathématiques et les aptitudes de résolution de problèmes sont très fortement dépendants de compétences calculatoires ; l’objectif savoir calculer figure toujours explicitement dans les programmes ; l’objectif savoir calculer est associé au sens que l’élève doit donner aux opérations, à leur construction, à leur engagement dans différentes situations et aux diverses manières d’obtenir un résultat ; les diverses manières d’obtenir un résultat sont regroupées dans ce que l’on nomme les outils de calcul ; le plan d’études cite quatre outils de calcul : ◊ les répertoires mémorisés, ◊ le calcul réfléchi, ◊ les algorithmes de calcul, ◊ la calculatrice, outils auxquels nous ajoutons l’estimation 4 ; les algorithmes de calcul sont donc un outil de calcul parmi d’autres ; nous n’assimilons pas les bouliers, jetons, bandes numériques et autres droites numériques aux outils de calcul, mais les considérons comme supports du calcul réfléchi ; le plan d’études stipule que l’élève doit être capable de choisir l’outil de calcul le mieux adapté à la situation et à ses propres connaissances ; pour qu’il y ait choix de l’élève, celui-ci doit savoir utiliser chacun de ces outils. Avant d’aborder spécifiquement les algorithmes de calcul, puis l’estimation, revenons brièvement sur les autres outils de calcul. 4 Voir point 4 page 33 octobre 2005 6 octobre 2005 7 2.1 LES RÉPERTOIRES MÉMORISÉS Les répertoires mémorisés sont des sommes et des différences de deux termes, ainsi que des produits de deux facteurs que l’élève doit connaître par cœur. Très tôt dans sa scolarité, il doit donner du sens aux mots-nombres de la suite numérique qu’il récite sous forme de comptines. Il s’agit pour lui d’appréhender les aspects cardinal et ordinal des nombres, ainsi que leur écriture chiffrée, de prendre conscience que chaque nombre vaut 1 de plus que le précédent. L’élève est progressivement confronté à d’autres écritures et peu à peu capable d’associer un nombre à : une somme de deux termes (8, c’est aussi 6 + 2, 2 + 6, 8 + 0, ...), une somme de plus de deux termes (5, c’est aussi 1 + 1 + 2 + 1, 3 + 1 + 1, ...), d’autres opérations (10, c’est aussi 11 – 1, 5 × 2, la moitié de 20, ...). À travers ces écritures, il voit apparaître certaines propriétés des opérations, comme la commutativité et l’associativité de l’addition, le rôle du 0 qui est l’élément neutre de cette opération. De cette diversité d’écritures, on extrait et on organise les différentes décompositions d’un nombre en sommes et différences de deux termes, en produits de deux facteurs. C’est ainsi que sont constitués les répertoires additif, soustractif et multiplicatif. Ils doivent être construits et mémorisés selon la progression suivante : Temps de sensibilisation Temps de construction, de structuration et de consolidation Temps de mobilisation Répertoire additif 0 + 0 à 9 + 9 1P 2P 3P Répertoire soustractif 0 – 0 à 19 – 9 2P 3P-4P la phase finale de construction du répertoire coïncide et s’appuie sur la phase de construction de l’algorithme de la soustraction 5P Répertoire multiplicatif 0 × 0 à 9 × 9 2P table des « doubles », plus quelques autres produits 3P-4P la phase finale de construction du répertoire coïncide et s’appuie sur la phase de construction de l’algorithme la multiplication 5P octobre 2005 8 L’élève est ici contraint à un immense et indispensable travail de représentation et de mémoire, travail qui s’avère déterminant pour le développement de l’habileté calculatoire en général. Celle-ci requiert en effet de l’élève qu’il : ait donné du sens aux nombres-mots de la comptine numérique, ait défini et enrichi l’identité de chaque nombre à travers la diversité de ses écritures, ait extrait les répertoires de ces listes d’écritures diverses, ait construit et mémorisé progressivement ces répertoires, ait pris conscience de l’existence des règles qui régissent notre système de numération et soit capable de les mettre en œuvre, ait pris conscience de l’existence de certaines propriétés des opérations et soit capable de les mettre en œuvre, ait pris conscience des liens étroits qui existent entre les différents outils de calcul. octobre 2005 9 2.2 LE CALCUL RÉFLÉCHI Chercher le résultat d’une opération par calcul réfléchi ne consiste pas à appliquer spontanément et mécaniquement une procédure standard. En plus de résultats mémorisés, le calcul réfléchi s'appuie en effet essentiellement sur certaines connaissances numériques - les propriétés des opérations et les règles de notre système de numération -, au point qu'on pourrait le définir comme leur mise en oeuvre consciente et personnelle, personnelle en ce sens que, contrairement au calcul mental que l'on a longtemps pratiqué, on analyse et valorise toutes les procédures de calcul engagées sans imposer quelque procédure idoine que ce soit. Différentes façons existent effectivement d’appréhender un calcul donné et sa résolution par le calcul réfléchi : pour la multiplication 27 × 6, on se sent, par exemple, capable ou non de trouver le résultat ; si oui, on peut procéder en transformant 27 × 6 par exemple en : ◊ (20 + 7) × 6 = (20 × 6) + (7 × 6) = 120 + 42 = 162, ou ◊ (30 – 3) × 6 = (30 × 6) – (3 × 6) = 180 – 18 = 162, ou ◊ (25 + 2) × 6 = (25 × 6) + (2 × 6) = 150 + 12 = 162, ou ◊ 9 × 18 = (10 × 18) – 18 = 180 – 18 = 162, ou ◊ 3 × 3 × 3 × 3 × 2 = 9 × 9 × 2 = 162, ou ◊ ... Précisons que calcul réfléchi ne signifie pas absence de traces écrites. Elles peuvent être utiles, voire souhaitables, pour soutenir une démarche ou pour mémoriser un résultat intermédiaire. Dans la classe, lors de validations d’un résultat, de débats ou uploads/Litterature/ algorithmes-estimation.pdf