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HAL Id: dumas-01625057 https://dumas.ccsd.cnrs.fr/dumas-01625057 Submitted on 5 Feb 2018 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés. Le calcul vectoriel en classe de seconde Guillaume Vouters, Marc-Antoine Saglio To cite this version: Guillaume Vouters, Marc-Antoine Saglio. Le calcul vectoriel en classe de seconde. Education. 2017. dumas-01625057 Année universitaire 2016-2017 Mémoire LE CALCUL VECTORIEL EN CLASSE DE SECONDE Présenté par : M. Guillaume Vouters & M. Marc-Antoine Saglio Encadré par : M. Yves Martinez-Maure Mots Clefs : Vecteur, Introduction, Géométrie, Seconde, Enseignement — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — École Supérieure du Professorat et de l’Éducation de l’académie de Paris 10 rue Molitor, 75016 PARIS – tél. 01 40 50 25 92 – fax. 01 42 88 79 74 www.espe-paris.fr Table des matières Introduction..........................................................................................................................................2 1. Fiche de lecture.................................................................................................................................3 a) Présentation de l'auteur...............................................................................................................3 b) Présentation générale de l'article................................................................................................3 c) Analyse de la seconde partie.......................................................................................................3 d) Conclusion..................................................................................................................................4 2. Programme sur les vecteurs..............................................................................................................4 a) Programme actuel.......................................................................................................................4 b) Remarques sur le programme.....................................................................................................5 3. Les difficultés classiques des élèves.................................................................................................7 a) Erreur d'application directe de la relation de Chasles.................................................................7 b) Utilisation à bon escient de la relation de Chasles.....................................................................9 c) Entraînement au calcul vectoriel..............................................................................................13 d) Calcul vectoriel dans les problèmes ouverts............................................................................13 e) Résumé des difficultés rencontrées...........................................................................................16 4. Les exercices de calcul vectoriel....................................................................................................17 a) Analyse critique d'un exercice..................................................................................................17 b) Modification de l'énoncé..........................................................................................................19 5. Pistes pour améliorer la compréhension du calcul vectoriel..........................................................20 Conclusion..........................................................................................................................................21 Annexe – Extraits de manuels............................................................................................................22 Bibliographie......................................................................................................................................23 Page 1 sur 23 Introduction L’enquête PISA 2015 de l'OCDE a récemment pointé du doigt les carences des élèves français en mathématiques. Seuls 8 % des élèves possèdent « suffisamment de connaissances et de compétences scientifiques pour les appliquer de manière créative et autonome dans un large éventail de situations, y compris des situations qui ne leur sont pas familières ». Introduire des notions auxquels les élèves ne sont pas familiers est donc une tâche extrêmement ardue pour l'enseignant et d'autant plus difficile que la notion est abstraite. L'introduction de la notion de vecteurs dans le plan en classe de seconde ne semble pas échapper à ce constat. Aux dires de nos collègues expérimentés, ce chapitre est l'un des plus difficile de la classe de seconde et le moins facilement compris des élèves : ces derniers paraissent comprendre plus ou moins aisément la notion de translation, cependant la notion de calcul vectoriel et l'utilisation de la relation de Chasles est souvent mal comprise, appliquée avec beaucoup de difficulté et rarement à bon escient. En effet une bonne compréhension de ce chapitre nécessite des qualités d'abstraction aux élèves. Afin d'enseigner au mieux le calcul vectoriel, il nous est paru fondamental de comprendre les difficultés des élèves. L'objectif de ce mémoire est ainsi d’essayer de répondre à la problématique suivante : • D’où viennent les difficultés des élèves dans le calcul vectoriel ? • Comment faire en sorte que les élèves maîtrisent au mieux le calcul vectoriel ? Afin de nourrir notre réflexion, nous avons étudié les deux articles suivants : « Les vecteurs à l'issue de la seconde. Une analyse des manuels et de quelques difficultés d'élèves » de Marilena BITTAR (« Petit x », 2000) et « Aperçu historique de l'évolution de l'enseignement des vecteurs en France depuis la fin du XIXè siècle » de Cissé BA et Jean-Luc DORIER (« L'Ouvert », 2006). La date de parution de ces articles offre une perspective historique intéressante sur une problématique qui est aussi ancienne que l'enseignement des vecteurs et permet des comparaisons avec l'approche actuelle imposée par les programmes. Nous présenterons ainsi dans une première partie une fiche de lecture de l'article de M. BITTAR. Dans une deuxième partie, nous rappellerons le contenu du programme actuel de seconde sur le calcul vectoriel et nous ferons quelques remarques à son sujet. Dans un troisième temps, nous décrirons et analyserons quelques extraits de traces écrites de nos élèves pour comprendre d'où viennent leurs difficultés. Ensuite, nous analyserons l'énoncé d'un exercice extrait d'un manuel de seconde et rechercherons si une modification de l'énoncé peut permettre de répondre mieux aux objectifs du programme et améliorer la compréhension du calcul vectoriel par les élèves. Finalement, avant de conclure, nous proposerons des pistes permettant de faciliter l'apprentissage et la maîtrise du calcul vectoriel par les élèves. Page 2 sur 23 1. Fiche de lecture Titre : « Les vecteurs à l'issue de la seconde. Une analyse des manuels et de quelques difficultés d'élèves », issu de Petit x, n° 53, pp. 49-68. Auteur : Marilena BITTAR Editeur : IREM de Grenoble, Grenoble, 2000 Format : A4, ISSN : 0759-9188 a) Présentation de l'auteur Marilena BITTAR est docteur en sciences de l'éducation, spécialisée dans la didactique des mathématiques, professeur à l'Université de Mato Grosso do Sul (Brésil). Elle a collaboré a plusieurs articles avec des chercheurs de l'université Joseph Fourier (Grenoble). Le présent article est issu d'une recherche de Mme BITTAR menée au sein du laboratoire Leibniz (CNRS / université Joseph Fourier). La base de données Publimath recense deux autres articles publiés par Mme BITTAR, qui portent sur l'enseignement des vecteurs dans le secondaire et l'apport des calculatrices symboliques ou des logiciels. Les recherches récentes de Mme BITTAR ont d'ailleurs pour thème, de manière générale, l'intérêt des logiciels et de la technologie dans l'enseignement des mathématiques. b) Présentation générale de l'article L'article analyse dans une première partie les savoirs à enseigner sur les vecteurs dans le secondaire, notamment au travers des manuels scolaires, de la quatrième à la seconde, en détaillant particulièrement le niveau de seconde. On notera en effet, et c'est une des leçons intéressantes de cet article au regard de la situation actuelle, que les vecteurs étaient introduits auprès des élèves dès la quatrième, jusqu'au début des années 2000. Dans sa seconde partie, l'article cherche à identifier les difficultés que cet enseignement peut engendrer chez les élèves. c) Analyse de la seconde partie Afin d'étudier les difficultés des élèves, l'auteur tente de mesurer la disponibilité (au sens d'un outil disponible pour la résolution d'un problème) et l'efficacité (au sens de la réussite dans la résolution d'un problème) de l'outil vectoriel. Un exercice est ainsi soumis à des élèves d'une classe de première S. Ce problème est classique et peut être résolu avec différentes méthodes. L'énoncé du problème est écrit avec l'objectif d'éviter les automatismes créés par l'enseignement du calcul vectoriel : plutôt que de demander de montrer que trois points A, E et C sont alignés (ce qui devrait inciter les élèves à utiliser la notion de colinéarité de vecteurs), il est demandé de prouver que E appartient au segment [AC]. L'expérience montre qu'environ la moitié des élèves pensent d'eux-mêmes à l'outil vectoriel pour résoudre le problème qui leur est soumis. Sur ces copies, environ un quart réussit à démontrer le résultat demandé, les autres commettant des erreurs ou ne parvenant pas à aboutir à la conclusion. Cette expérience est une illustration d'une difficulté majeure des élèves dans leurs débuts avec le calcul vectoriel, sur laquelle nous reviendrons dans ce mémoire : l'absence de stratégie de résolution. Les élèves connaissent ainsi la relation de Chasles mais ne savent souvent pas l'utiliser à bon escient (n'ayant, en particulier, pas de notion de décomposition dans une base vectorielle). Page 3 sur 23 d) Conclusion L'article conclut à une disponibilité plutôt correcte du calcul vectoriel parmi les élèves testés. Mais à un constat plus inquiétant en matière d'efficacité. Les vecteurs sont vus comme un outil par les élèves, mais ils n'en maîtrisent pas l'efficacité : ces derniers savent effectuer des substitution avec la relation de Chasles, mais leur réussite à montrer le résultat recherché est d'une certaine manière dûe au hasard (celui qui réussit est celui qui a eu la chance de faire les bonnes substitutions). Cette difficulté n'a rien perdu de son actualité dans l'enseignement des vecteurs en seconde en 2017. Elle a été au cœur de notre réflexion d'enseignant cette année et constitue un des principaux sujets de ce mémoire. 2. Programme sur les vecteurs a) Programme actuel D’après le bulletin officiel n°30 du 23 juillet 2009, le programme actuel sur les vecteurs est le suivant : CONTENUS CAPACITES ATTENDUES COMMENTAIRES Vecteurs Définition de la translation qui transforme un point A du plan en un point B. Vecteur ⃗ AB associé. Egalité de deux vecteurs : ⃗ u=⃗ AB=⃗ CD Coordonnées d'un vecteur dans un repère. Somme de deux vecteurs Produit d'un vecteur par un uploads/Litterature/ 1098-16gvouters-vouters-guillaume.pdf