Aix-Marseille Université - Analyse 1 DEVOIR DE CONTRÔLE CONTINU 1 Vendr

Aix-Marseille Université - Analyse 1 DEVOIR DE CONTRÔLE CONTINU 1 Vendredi 13 février 2015 Durée : deux heures. Aucun document autorisé. Calculettes interdites. Il sera tenu compte de la présentation et de la clarté de la rédaction. Toute réponse devra être justifiée. Exercice 1 1. Donner la définition : (a) d’une suite bornée ; (b) d’une suite tendant vers −∞. 2. Montrer, en revenant à la définition, que : (a) la suite  1−2√n 1+√n  n∈N converge vers −2 ; (b) la suite  ln(1 + n2)  n∈N tend vers +∞. 3. Montrer que : (a) toute suite décroissante est majorée ; (b) la somme d’une suite convergeant vers un réel et d’une suite tendant vers +∞est une suite qui tend vers +∞. Exercice 2 1. Déterminer, en justifiant vos réponses, si les suites suivantes sont croissantes ou décroissantes : (a) un = 2n + sin(n), ∀n ∈N. (b) vn = n X k=1 3 (k + 1)2 , ∀n ∈N∗. (c) w0 = 16 et wn+1 = √wn, ∀n ∈N. 2. Déterminer, en justifiant vos réponses, si les suites suivantes sont bornées : (a) un = 2n + sin(n), ∀n ∈N. (b) vn = 4 cos π n  + 3(−1)n − 2 n + 1, ∀n ∈N∗. 3. Déterminer, en justifiant vos réponses, si les suites suivantes sont convergentes : (a) un = (cos(n) −2) n4 , ∀n ∈N∗. (b) vn = 3n + 5(−1)n 2n + 1 , ∀n ∈N. (c) wn = (−1)n n + 1 n , ∀n ∈N∗. (d) zn = √2n + 1 −√2n −1, ∀n ∈N∗. Exercice 3 Soient u0 et u1 deux nombres réels. Pour tout n ∈N, on pose un+2 := un + un+1 2 et vn := un+1 + 1 2un. 1. Pour tout entier n ∈N, calculer vn+1 en fonction de vn. Que peut-on en déduire sur la suite (vn)n∈N ? 2. Donner une relation entre un et un+1 satisfaite pour tout n ∈N. 3. Trouver α ∈R tel que la suite (un −α)n∈N soit géométrique. 4. En déduire, pour tout entier n ∈N, une expression de un en fonction de n, u0 et u1. 5. La suite (un)n∈N est-elle convergente ? Si oui, déterminer sa limite. uploads/Litterature/ analyse-1-examen-04.pdf

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littérature suite d’une exercice déterminer justifiant
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