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Ecole Centrale de Nantes D´ ept. Info/Math Ann´ ee universitaire 2011-2012 EI 1

Ecole Centrale de Nantes D´ ept. Info/Math Ann´ ee universitaire 2011-2012 EI 1 ANALYSE NUMERIQUE Mazen SAAD Mazen.Saad@ec-nantes.fr i ii TABLE DES MATI` ERES Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1. Alg` ebre lin´ eaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1. Arithm´ etique ﬂottante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Un peu de calcul matriciel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2. R´ esolution des grands syst` emes lin´ eaires creux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.1. Exemple 1. Equation de la chaleur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2. Exemple 2. Probl` emes de r´ eseaux.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3. Graphe associ´ e ` a une matrice et inversement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.4. Les matrices irr´ eductibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.5. Localisation des valeurs propres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.6. M´ ethodes directes pour la r´ esolution de syst` emes lin´ eaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3. M´ ethodes it´ eratives. . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . 25 3.1. M´ ethodes it´ eratives classiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2. M´ ethodes de gradients. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.3. Calcul de valeurs propres et de vecteurs propres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4. Interpolation et Approximation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.2. Interpolation de Lagrange.. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 38 4.3. Polynˆ ome d’interpolation de Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.4. Interpolation de Hermite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.5. Interpolation locale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.6. Meilleure approximation (projection orthogonale). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.7. Polynˆ omes orthogonaux.. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 47 4.8. Approximation au sens des moindres carr´ es discrets. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5. Int´ egration num´ erique. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 51 5.1. M´ ethode composite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 5.2. Formulation de quadrature de type interpolation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 iv TABLE DES MATI` ERES 5.3. Formule d’int´ egration classique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . uploads/Litterature/ analyse-numerique-saad.pdf