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Mathématiques Bac S La dérivation La dérivation est un des outils d’analyse mat

Mathématiques Bac S La dérivation La dérivation est un des outils d’analyse mathématique les plus universels. Il regroupe sous sa formulation les concepts de vitesse, de croissance et de variation. Il est indispensable de comprendre sa représentation globale et de maîtriser quelques opérations utiles pour pouvoir étudier convenablement une fonction. 1. Définition  f est une fonction définie sur un intervalle I.  a et  ah sont deux réels de I avec  h 0. Dire que  f est dérivable en  a signifie que le taux de variation entre  a et  ah tend vers un nombre réel  L lorsque  h tend vers 0, c’est-à-dire :  lim h0 f (ah)f (a) h L. L est le nombre dérivé de  f en  a. On le note   f (a). Dire que  f est dérivable sur l’intervalle I signifie que  f est dérivable en tout réel  x de I. La fonction dérivée de  f , notée   f , est la fonction qui associe à tout réel  x de I, le nombre   f (x). 2. Propriétés de la dérivation Si  f est dérivable en  a alors  f est continue en  a. Pour toutes fonctions  u et  v dérivables sur un intervalle I et tout   réel,  (uv)'u'v'  u 'u'  (uv)'u'vuv'  u2  '2uu' si  v ne s’annule pas sur I, on a alors :  1 v       v' v2  u v       u'v uv' v2 3. Dérivée et sens de variation  f une fonction dérivable sur un intervalle I. Si pour tout x de I,   f (x)0(resp.   f (x)0) sauf peut-être en quelques points où   f (x) est nul, alors  f est strictement croissante (resp. décroissante) sur I. Si pour tout  x de I,   f (x)0 alors  f est constante sur I. 4. Dérivée et extremum local  f est une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I et  x0 est un réel de I. Si  f (x0) est un extremum local de  f , alors   f (x0)0. Si   f s’annule en  x0 en changeant de signe, alors  f (x0)est un extremum local. 5. La fonction tangente Pour tout  x  2 k (on appelle D cet ensemble),  tan(x)tanx et  tan(x)tanx. La fonction tangente est dérivable en tout réel  x de D et  ta  n x 1tan2 x  1 cos2 x . 6. Fonction dérivée de    gou  g est dérivable sur J,  u est dérivable sur I et à valeurs dans J c’est-à-dire pour tout  x de I,  u(x) est dans J.    f gou est dérivable sur I. On a alors :   f (x) g u(x)  .  u (x). Applications de la formule  u est dérivable sur I et  n en entier. si  n 2, alors  un est dérivable sur I et  un  nun1  u si  n 1, alors  un est dérivable en tout point ou  u n’est pas nulle et l’expression est la même. si en plus  u est strictement positive sur I, alors est  u dérivable et u    u 2 u . uploads/Litterature/ la-derivation 1 .pdf