Universit´ e Cadi Ayyad Facult´ e des Sciences Semlalia D´ epartement de Math´

Universit´ e Cadi Ayyad Facult´ e des Sciences Semlalia D´ epartement de Math´ ematiques Ann´ ee universitaire 2021/2022 Fili` ere SMP-S3 Analyse num´ erique Corrig´ e s´ erie n◦2    Exercice 1 : Calculer l’int´ egrale complexe le long de la courbe C indiqu´ ee suivantes. 1) Z C (z2 + 3z)dz, C : le cercle de centre 0 et de rayon 2. 2) Z C e2zdz, C : le segment qui relie les πi ` a 2πi. 3) Z C (¯ z + 3z2), C : le chemin ferm´ e de figure ci-contre form´ e de l’arc de cercle de centre 0 et de rayon 1 et du segment [i, 1], d´ ecrit dans le sens direct.    Solution : 1) Le cercle C(0, 2) de centre 0 et de rayon R = 2 parcouru dans le sens positif est param´ etr´ e par γ(t) = 2eit, t ∈[0, 2π], avec γ′(t) = 2ieit. Donc l’int´ egrale vaut Z C (z2 + 3z)dz = Z 2π 0 f(γ(t))γ′(t)dt = Z 2π 0 [(2eit)2 + 3 × 2eit]2ieitdt = Z 2π 0 (8ie3it + 12ie2it)dt = 8 3e3it + 6e2it 2π 0 = 8 3e6iπ + 6e4iπ −8 3 −6 = 0. Autre m´ ethode : Puisque la fonction f(z) = z2 + 3z est holomorphe sur et l’int´ erieur du cercle C(0, 2), alors d’apr` es th´ eor` eme de Cauchy Z C(0,2) (z2 + 3z)dz = 0. 2) Le segment [πi, 2πi] est param´ etr´ e par le chemin γ(t) = πi + (2πi −πi)t = πi + πt = πi(1 + t), t ∈[0, 1], et on a γ′(t) = πi. Donc Z C e2zdz = Z 1 0 f(γ(t))γ′(t)dt = Z 1 0 e2πi(1+t)πidt = πi Z 1 0 e2πie2iπtdt = πi e2iπt 2iπ 1 0 = e2iπ 2 −1 2  = 0 (e2iπ = cos(2π) + i sin(2π) = 1). Autre m´ ethode : La fonction f(z) = e2z est holomorphe et admet de primitive, alors Z C e2zdz = Z 2iπ iπ e2zdz = e2z 2 2iπ iπ = e4iπ 2 −e2iπ 2 = 0. 3) D’apr` es la relation de Chasles l’int´ egrale peut s’´ ecrit sous forme Z C z + 3z2 dz = Z Arc(0,1) z + 3z2 dz + Z [i,1] z + 3z2 dz. 1 Re z Im z 1 1 L’arc de cercle Arc(0, 1) de centre 0 et de rayon 1 peut ˆ etre param´ etr´ e par γ(t) = eit, t ∈  0, π 2  . Donc on a Z π 2 t=0 e−it + 3 eit2 d eit = Z π 2 0 e−it + 3e2it ieitdt = Z π 2 0 i + 3ie3it dt =  it + e3it  π 2 0 = i π 2 + ei 3π 2 − 0 + e0 = i π 2 −i −1 (e 3π 2 i = cos(3π/2) + i sin(3π/2) = −i). Le segment [z0, z1] d’extr´ emit´ es z0 = i et z1 = 1 peut ˆ etre param´ etr´ e par γ (t) = z0 + (z1 −z0) t = i + (1 −i) t, t ∈[0, 1]. On a donc dz = γ′ (t) dt = (1 −i) dt et l’int´ egrale donn´ ee vaut Z [z0,z1] z + 3z2 dz = Z 1 0  (−i + ti + t) + 3 (i −ti + t)2 (1 −i) dt = Z 1 0 14t −4 + 2i −6t2 (1 + i)  dt =  7t2 −4t + 2it −2t3 (1 + i) 1 0 = 1. Ce qui entraˆ ıne que Z C z + 3z2 dz = iπ 2 −i −1 + 1 = i π 2 −1  . Remarque : La fonction ` a int´ egrer f (z) = z + 3z2 n’est pas holomorphe car z n’est pas holomorphe dans C, donc on ne peut pas utiliser le th´ eor` eme de Cauchy pour cette fonction et l’int´ egrale d´ epend du chemin suivi et pas seulement du point d’arriv´ e et du point de d´ epart.    Exercice 2 : En utilisant la formule int´ egrale de Cauchy, calculer les int´ egrales suivantes. 1) Z γ dz z2 −1, o` u γ est le cercle de centre 1 et de rayon 1 2. 2) Z γ ez z(z −2)dz, o` u γ est le cercle de centre 2 et de rayon 1. 3) Z γ ez + e−z z3 dz, o` u γ est le cercle de centre 0 et de rayon 1.    Solution : 1) Puisque 1 z2 −1 = 1 (z + 1)(z −1), alors on pose f(z) = 1 z + 1 qui est holomorphe sur C \ {−1} qui aussi holomorphe sur le disque D(1, 1/2) = {z ∈C : |z −1| ≤1 2} qui est simplement connexe. Donc, d’apr` es la formule int´ egrale de Cauchy Z γ dz z2 −1 = Z |z−1|=1/2 dz (z −1)(z + 1) = Z |z−1|=1/2 f(z)dz (z −1) = 2iπf(1) = 2iπ 1 2 = πi. 2 2) On pose f(z) = ez z qui est holomorphe sur C \ {0} qui aussi holomorphe sur le disque D(2, 1) = {z ∈C : |z −2| ≤1} qui est simplement connexe. Alors d’apr` es la formule int´ egrale de Cauchy Z γ ez z(z −2)dz = Z |z−2|=1 ez z(z −2)dz = Z |z−2|=1 f(z) z −2dz = 2iπf(2) = 2iπ e2 2 = iπe2. 3) On pose f(z) = ez+e−z qui est holomorphe sur C qui aussi holomorphe sur le disque D(0, 1) qui simplement connexe. Donc d’apr` es la formule int´ egrale de Cauchy Z γ ez + e−z z3 dz = Z |z|=1 ez + e−z z3 dz = Z |z|=1 f(z) z3 dz = 2iπ 2! f ′′(0). Comme f ′(z) = ez −e−z, f ′′(z) = ez + e−z et f ′′(0) = 2, alors Z γ ez + e−z z3 dz = iπ × 2 = 2iπ.    Exercice 3 : En utilisant les param´ etrisations, montrer que l’on a Z C z2dz = 0, o` u C = [−1, 1] ∪γ avec γ est le demi-cercle sup´ erieur de centre 0 et de rayon 1, orient´ e positivement. Comment peut-on pr´ edire ce r´ esultat sans calculs?    Solution : Soit C = [−1, 1] ∪γ avec γ le demi-cercle sup´ erieur de centre 0 et de rayon 1, orient´ e positivement. On a Z C z2dz = Z [−1,1] z2dz + Z γ z2dz. Sur le segment [−1, 1] : On peut utiliser comme param´ etrisation z = x, avec x ∈[−1, 1], ce qui donne dz = dx et par cons´ equent Z [−1,1] z2dz = Z 1 −1 x2dx = x3 3 1 −1 = 2 3. Sur le demi-cercle γ : On utilise comme param´ etrisation z = eit avec t ∈[0, π], ce qui donne dz = ieitdt et par cons´ equent Z γ z2dz = Z π 0 (eit)2ieitdt = Z π 0 ie3itdt = e3it 3 π 0 = 1 3e3iπ −1 3e0 = 1 3(−1) −1 3 = −2 3. Donc l’int´ egrale vaut Z C z2dz = Z [−1,1] z2dz + Z γ z2dz = 2 3 −2 3 = 0. On peut pr´ edire ce r´ esultat sans calculs en utilisant le th´ eor` eme de Cauchy, selon lequel l’int´ egrale sur un chemin ferm´ e d’une fonction holomorphe ` a l’int´ erieur et sur le chemin en question est nulle. Ici la fonction f(z) = z2 est holomorphe sur C (car f est un polynˆ ome), en particulier f est holomorphe sur et ` a l’int´ erieur du chemin ferm´ e C. Donc Z C z2dz = 0.    Exercice 4 : 1) Calculer par la formule int´ egrale de Cauchy : Z C ez z dz, o` u C est le cercle unit´ e |z| = 1 parcouru dans le sens direct. 3 2) En d´ eduire la valeur de l’int´ egrale Z 2π 0 cos(sin θ)ecos(θ)dθ.    Solution : 1) On consid` ere la fonction f(z) = ez est holomorphe sur C et puisque z0 = 0 est ` a l’int´ erieur de cercle unit´ e C, alors d’apr` es la formule int´ egrale de Cauchy on a Z C f(z) z −z0 dz = 2iπf(z0). Donc Z C ez z dz = 2iπ, (f(0) = e0 = 1). 2) Posons z = eiθ. Alors, on a dz = ieiθdθ et z = cos(θ) + i sin(θ). Donc ez = ecos(θ)+i sin(θ) = ecos(θ)ei sin(θ) = ecos(θ) (cos(sin(θ)) + i sin(sin(θ))) . D’o` u 2iπ = Z C ez z dz = Z 2π 0 ecos(θ) (cos(sin(θ)) + i sin(sin(θ))) eiθ ieiθdθ = Z 2π 0 ecos(θ) (cos(sin(θ)) + i sin(sin(θ))) idθ = − Z 2π 0 ecos(θ) sin(sin(θ))dθ + i Z uploads/Litterature/ corrigeserie-2-smps3.pdf

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littérature l’int´ alors erieur f(z)dz egrale
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