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NB : Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction, de la rigueur et de la

NB : Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction, de la rigueur et de la représentation des copies 0.5pt 0.5pt 1.5pt 0.5pt 1pt 1pt 0.5pt 0.25pt 0.75pt 0.75pt 0.75pt 1pt 2pts 1pt 1pt 2pts 3pts 2pts Exercice 1 ( 9 pts ) Partie 1 Considérons la fonction g définie sur R par : ( ) 2 tan 1 x g x Arc x x = + + 1) a- Calculer les limites suivantes : ( ) lim x g x →− et ( ) lim x g x →+ . b- Montrer que g est dérivable en 0 et donner la valeur de ( ) 0 g 2) Montrer que g est une bijection de R vers un intervalle J qu’on doit déterminer. 3) Donner le signe de ( ) g x pour tout x R  . Partie2 Considérons la fonction f définie sur R par : ( ) ( ) 2 1 tan f x x Arc x x = − + 1) a- Calculer les limites suivantes : ( ) lim x f x →− et ( ) lim x f x →+ . b- Montrer que ( ) ( ) ( ) 2 x R f x xg x   = . c- Déduire le signe de ( ) f x  pour tout x R  . d- Donner le tableau de variation de f . e- Etudier le signe de ( ) f x x − pour tout x R  . Partie3 Considérons la suite ( ) n u définie par : 0 u a = et ( ) 1 n n u f u + = , avec   0,1 a . 1) Montrer que ( ) 0 1 n n N u    . 2) Etudier la monotonie de ( ) n u ,puis déduire qu’elle est convergente . 3) Déterminer la valeur de lim n n u →+ . Exercice 2 ( 6 pts ) Pour tout n N   considérons la fonction n f définie sur   0,1 par ( ) 1 tan n n f x x Arc x = −+ . 1) a)Montrer que ( )   ( ) ( ) ! 0,1 : 0 n n n n N x f x     = . b) Montrer que 1 1 2 x  . 2) Considérons la suite ( ) 1 n n x  définie tel que pour tout n N   le terme n x désigne l’unique solution de l’équation ( ) 0 n f x = dans l’intervalle   0,1 . a- Etudier la monotonie de ( ) 1 n n x ,puis déduire qu’elle est convergente. b- Montrer que la suite ( ) 1 n n n x est strictement décroissante,puis déduire qu’elle est convergente. c- Montrer que ( ) 1 1 4 n n n N x    −  . d-Admettant que lim 1 4 n n n x  →+ = − , déduire que lim 1 n n x →+ = . Exercice 3 ( 5 pts ) Soit ( ) 1 n n s une suite définie par ( ) 1 1 n k n k k s u = = −  avec ( ) 1 n n u est une suite décroissante convergeant vers 0. 1) Montrer que les deux suites extraites( ) 1 n n v et( ) 1 n n w  tels que 2 n n v s = et 2 1 n n w s + = sont adjacentes, puis déduire que la suite ( ) 1 n n s est convergente. 2) Déduire que la suite ( ) 1 n n s ,définie par ( ) 3 1 1 k n n k s k = − = , est convergente . 2ème année Sciences Mathématiques Devoir surveillé n° 1 2019-2020 Lycée Ibn Abdoun – Khouribga Durée : 2h Mr.EL ABBASSI Med uploads/Litterature/ ds1-2sm-2019-20203-converti.pdf