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Th´ eor` eme de la phase stationnaire http://www.maths.univ-rennes1.fr/∼carles/

Th´ eor` eme de la phase stationnaire http://www.maths.univ-rennes1.fr/∼carles/ENS/ Pour arriver ` a pr´ esenter ce r´ esultat en d´ eveloppement, on peut (doit?) se restreindre au cas d’une seule variable. On peut aussi se contenter de calculer un ´ equivalent de l’int´ egrale, et seulement mentionner l’existence d’un d´ eveloppement asymptotique ` a tout ordre. Th´ eor` eme 1 Soient u ∈C∞ 0 (R, C), φ ∈C∞(R, R). On suppose que φ pos- s` ede un unique point critique sur supp u, et que ce point critique est non d´ eg´ en´ er´ e : ∃!xc ∈supp u/φ′(xc) = 0, et φ′′(xc) ̸= 0. On note I(λ) := Z +∞ −∞ eiλφ(x)u(x)dx. Alors (si u(xc) ̸= 0), I(λ) ∼ λ→+∞ r 2π λ ei π 4 sgn φ′′(xc) |φ′′(xc)|1/2 u(xc)eiλφ(xc). (1) De plus, il existe des op´ erateurs diﬀ´ erentiels A2ν d’ordre au plus 2ν tels que pour tout N ≥1, ¯ ¯ ¯ ¯ ¯I(λ) − N−1 X ν=0 eiλφ(xc) λ 1 2 +ν µ A2ν µ d dx ¶ u ¶ (xc) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ CN λ 1 2+N , (2) o` u CN d´ epend de u et de φ. Remarques : 1. Par partition de l’unit´ e, cette formule se g´ en´ eralise au cas o` u φ a plusieurs (forc´ ement un nombre ﬁni) points critiques non d´ eg´ en´ er´ es sur supp u : les contributions de chaque point critique se superposent. 2. Ce r´ esultat se g´ en´ eralise au cas de la dimension quelconque. La d´ eriv´ ee seconde de la phase est remplac´ ee par sa hessienne, le signe par la signature de la hessienne, et la premi` ere racine dans (1) devient une puissance n/2. 3. Dans le th´ eor` eme, on peut aussi supposer que u est un ´ el´ ement de l’espace de Schwartz S(R) (et que φ poss` ede un unique point critique, non d´ eg´ en´ er´ e). 1 Université de Rennes 1 Préparation à l’agrégation de mathématiques Auteur du document : R. Carles D´ emonstration : pour simpliﬁer les ´ ecritures, on suppose que xc = 0. La preuve du th´ eor` eme s’organise alors comme suit : 1. On factorise la phase φ pr` es de 0 pour la rendre quadratique sur un voisinage de l’origine. 2. On montre que les contributions en dehors de ce voisinage sont n´ egli- geables dans l’int´ egrale I(λ). 3. Par changement de variable, on se ram` ene ` a une phase quadratique. 4. On donne un sens ` a R ei x2 2 dx et on en donne la valeur. 5. La preuve se termine par application de la formule de Parseval. 1. D’apr` es la formule de Taylor avec reste int´ egrale, φ(x) −φ(0) = x2 2 Z 1 0 2(1 −t)φ′′(tx)dt. Par hypoth` ese, φ′′(0) ̸= 0, donc il existe un voisinage U de l’origine tel que φ′′ ne s’annule pas sur U. On d´ eﬁnit ψ(x) := x ¯ ¯ ¯ ¯ Z 1 0 2(1 −t)φ′′(tx)dt ¯ ¯ ¯ ¯ 1/2 . La fonction ψ est de classe C∞sur U. Pour x ∈V voisinage de 0, on a φ ◦ψ−1(x) −φ(0) = 1 2 sgn φ′′(0)x2. Remarque : en dimension sup´ erieure, le mˆ eme type de r´ esultat est donn´ e par le lemme de Morse, qui se d´ emontre par le th´ eor` eme d’inversion locale. 2. Soit χ une fonction de troncature v´ eriﬁant les propri´ et´ es suivantes : χ ∈ C∞ 0 (R), supp χ ⊂U, et χ(x) = 1 pour x pr` es de 0. L’int´ egrale I(λ) se d´ ecompose alors en I(λ) = Z +∞ −∞ eiλφ(x)(uχ)(x)dx + Z +∞ −∞ eiλφ(x)u(1 −χ)(x)dx. (3) La seconde int´ egrale est n´ egligeable d’apr` es le r´ esultat suivant. Lemme 1 (Lemme de la phase non stationnaire) Soit v ∈C∞ 0 (R). On sup- pose que φ′ ne s’annule pas sur supp v. Alors pour tout N ≥0, il existe une constante C (d´ ependant de N, φ et v) telle que ¯ ¯ ¯ ¯ Z R eiλφ(x)v(x)dx ¯ ¯ ¯ ¯ ≤C λN . (4) 2 Remarque : d’apr` es ce lemme, la seconde int´ egrale apparaissant dans (3) est un O(λ−N) pour tout N, donc n’intervient pas en vue de la preuve du th´ eor` eme, car elle contribue toujours comme un reste dans le d´ eveloppement asymptotique. Preuve du lemme de la phase non stationnaire : il suﬃt d’´ ecrire Z R eiλφ(x)v(x)dx = Z R φ′(x)eiλφ(x) v(x) φ′(x)dx, et de remarquer que par hypoth` ese, la fonction v/φ′ ∈C∞ 0 (R). Une int´ egra- tion par parties donne Z R φ′(x)eiλφ(x) v(x) φ′(x)dx = i λ Z R eiλφ(x) µ v(x) φ′(x) ¶′ dx. La fonction ³ v φ′ ´′ est elle aussi dans C∞ 0 (R), donc on peut recommencer cette manœuvre, N fois pour d´ emontrer le lemme. 2 4. D´ eﬁnition et calcul de l’int´ egrale de Fresnel. Lemme 2 Soit g ∈S(R) telle que g(0) = 1. Alors la limite suivante existe, lim ε→0 Z R ei x2 2 g(εx)dx. (5) De plus, cette limite est ind´ ependante du choix de la fonction g, on la note R ei x2 2 dx, et Z R ei x2 2 dx = ei π 4 √ 2π. D´ emonstration : on commence par montrer que cette limite existe et a la valeur annonc´ ee pour une fonction g particuli` ere, puis on montre que pour une autre fonction, la limite est la mˆ eme. Notons I = R R e−x2/2dx = 2 R ∞ 0 e−x2/2dx. En ´ ecrivant I2 comme une int´ egrale double sur un quart du plan, et en passant en coordonn´ ees polaires, on calcule directement I = √ 2π. Par changement de variable homog` ene, on a, pour tout σ > 0, Z R e−σ x2 2 dx = r 2π σ . Par prolongement analytique, pour tout z ∈C avec Re z > 0, on a Z R e−z x2 2 dx = r 2π z . Prenons z = ε2 −i. Z R ei x2 2 e−(εx)2 2 dx = r 2π ε2 −i. (6) 3 Le second membre a une limite quand ε tend vers z´ ero, donc pour f(x) = e−x2/2 (qui est bien une fonction comme dans l’´ enonc´ e du lemme), ∃lim ε→0 Z R ei x2 2 f(εx)dx = ei π 4 √ 2π. Soit maintenant une fonction g comme dans le lemme. En ´ ecrivant g = g −f + f, on constate qu’il suﬃt de montrer lim ε→0 Z R ei x2 2 (g −f)(εx)dx = 0 pour achever la preuve du lemme. En posant y = εx dans l’int´ egrale pr´ ec´ edente, il vient Z R ei x2 2 (g −f)(εx)dx = 1 ε Z R ei y2 2ε2 (g −f)(y)dy. (7) On proc` ede alors comme dans la preuve du lemme de la phase non station- naire, en remarquant que la fonction x 7→g(x) −f(x) x est ´ egalement dans la classe de Schwartz. Une int´ egration par parties montre alors que l’int´ egrale (7) est un O(ε), ce qui ach` eve la preuve du lemme. 2 5. Il reste pour terminer la preuve du th´ eor` eme ` a ´ etudier la premi` ere int´ egrale dans (3). Par le changement de variable x = ψ−1(y) (qui a bien un sens car la fonction χ est support´ ee dans U voisinage de l’origine o` u est d´ eﬁni le diﬀ´ eomorphisme ψ), cette int´ egrale devient eiλφ(0) Z R ei λ 2 y2 sgn φ′′(0)(uχ) ◦ψ−1(y)|(ψ−1)′(y)|dy. (8) Notons w = |(ψ−1)′|.(uχ)◦ψ−1. Par construction, w ∈C∞ 0 (R). On applique la formule de Parseval, Z R f¯ g = 1 2π Z R ˆ f¯ ˆ g, avec f(y) = ei λ 2 y2 sgn φ′′(0) et ¯ g = w. La formule de Parseval s’applique ` a des fonctions de L2, et ´ evidemment f ̸∈L2 : le calcul qui suit se justiﬁe en rempla¸ cant f par fε(y) = ei λ 2 y2e−ε2y2/2 et en faisant tendre ε vers 0. Cette justiﬁcation est une cons´ equence du lemme 2. Le calcul des int´ egrales de Fresnel (en passant par la forme canonique) donne ˆ f(ξ) = e−i sgn φ′′(0) 2λ ξ2ei sgn φ′′(0) π 4 r 2π λ . 4 L’int´ egrale (8) vaut donc eiλφ(0) ei sgn φ′′(0) π 4 √ 2πλ Z R e−i sgn φ′′(0) 2λ ξ2¯ ˆ g(ξ)dξ. Par convergence domin´ ee, la derni` ere int´ egrale tend, lorsque λ tend vers +∞, vers Z R ¯ ˆ g(ξ)dξ = 2π¯ g(0) = 2πw(0), d’apr` es la formule d’inversion de Fourier. On a aussi w(0) = (uχ)(0)(ψ−1)′(0) = u(0) ψ′(0) = u(0) |φ′′(0)|1/2 . Ceci prouve la premi` ere partie du th´ eor` eme. Il semble d´ elicat de prouver la seconde partie (manque de temps sans doute), mais il faut mentionner qu’on uploads/Litterature/ developpement-analyse-415.pdf