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CHAPITRE 5 : LA LOI NORMALE La loi normale est la loi de probabilité la plus ut

CHAPITRE 5 : LA LOI NORMALE La loi normale est la loi de probabilité la plus utilisée. Elle correspond à de très nombreux phénomènes statistiques et est considérée comme un outils préférentiel pour anticiper les risques. La loi normale est une loi de probabilité continue qui permet de modéliser le plus grand nombre de phénomènes aléatoires (phénomènes possédant de nombreuses causes indépendantes dont les effets s’additionnent, sans que l’un d’eux domine). A) CARACTERISTIQUES DE LA LOI NORMALE 1) Critère de recours « Dès qu'un phénomène est la superposition d'un grand nombre de causes aléatoires indépendantes, une cloche se présente. » Soit X une variable aléatoire continue. X prend donc n’importe quelle valeur dans un intervalle. On dit que X suis une loi normale (ou loi de Gauss) de paramètre m (la moyenne ou espérance mathématique de X) et σ (l’écart-type de X) quand elle a pour densité de probabilité la fonction suivante : La loi concerne des évènements I I D : INDEPENDANTS IDENTIQUEMENT DISTRIBUES La loi normale est une loi de probabilité continue qui permet de modéliser le plus grand nombre de phénomènes aléatoires (phénomènes possédant de nombreuses causes indépendantes dont les effets s’additionnent, sans que l’un d’eux domine). La Proba ( ‘X< M ) ou Proba (X>m) est de 50% f (x )= 1 σ √2 π e −1 2( x−m σ ) 2 NB : Dans certains phénomènes humains, en bourse par exemple, les évènements ne sont pas INDEPENDANTS, ce qui relativise le recours à cette loi. Une loi normale est très lourde à calculer : On dispose d’une table intermédiaire , la table normale centrée réduite. On utilise préalablement un changement de variable : DEMARCHE On dispose de X et de ses paramètres On calcule la variable centrée réduite U On lit la probabilité dans la table P 2) Lecture des proba La table normale centrée réduite permet de connaitre la probabilité que P(U <u) C’’est une table cumulée. On distingue 4 cas : Prob(u < 1) Lecture directe PRob (u>-1) Lecture directe Proba (u>1 ) Complémentaire soit 1 – P(u<1) Proba (u<-1) Complémentaire soit 1 –P(u<1) NB : La probabilité d’une valeur isolée est de 0 : Proba (X=1) = 0 Lecture Table Centrée réduite EXERCICE 1 3) Les bornes Dans un premier usage, on s’est servi des bornes pour disposer de probabilité. Proba (X >1000 ) = ?????? Il est possible d’utiliser une probabilité pour déterminer une borne Proba (X> ?????) = 5% Quel est le seuil qui ne concerne que 5% des cas ? Il faut effectuer la démarche en sens inverse : On cherche à l’intérieur de la table la probabilité P On reconstitue la valeur de la variable centrée réduite U On reconstitue la valeur de la variable initiale X EXEMPLE : Un test de QI a une moyenne de 95 et un écart type de 12 Quelle est la probabilité de dépasser la moyenne ? (avoir au moins 100) ? Quel est la probabilité de dépasser 120 ? Etre doué n’est pas donné à tout le monde : Cela concerne 5% de la populations. Quel est le seuil du QI correspondant Quel est le seuil qui correspond au génie ?(1% de la population) B) AUTRES UTILISATIONS 1) Les intervalles La loi normale permet de déterminer ou d’analyser des intervalles centrés autour de la moyenne. Cette pratique est une synthèse des approches précédentes. Les ventes suivent une loi normale de moyenne 1000 et d’écart-type 150 ? Exemple 1: Quelle est la probabilité que les ventes soient comprises dans l’intervalle 850- 1150 ? Exemple 2 Quel est l’intervalle qui englobera 90% des cas ? On connait des intervalles caractéristiques : 2) Approximations La loi normale peut servir à approximer la loi binomiale et la loi de poisson, sous certaines conditions LOI BINOMIALE Conditions d’approximation d’une loi binomiale Si X suit une loi binomiale B(n,p) X peut être approchée par une loi n>= 30 et p et q non voisins de 0 ou np> et nq>15 Normale N(np,√npq) LOI DE POISSON Condition d’approximation d’une loi de Poisson Si X suit une loi de Poisson P() X peut être approchée par une loi Si  >15 Normale N(,√❑) On se souvient que la loi binomiale peut être approximée par une loi de Poisson. On peut ainsi faire un lien entre ces 3 lois. xi 5 € 10 € 15 € 20 € 25 € 30 € 35 € 40 € 45 € 50 € Total pi 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 1 EXERCICE 3 –Approximation d'une loi binomiale par une loi normale Une entreprise sous-traitante fabrique des composants de haute précision pour l’industrie aéronautique. Chaque produit est contrôlé à la sortie de l’atelier de fabrication. La probabilité qu’un produit soit défectueux est de 5 % (0,05). La production s’élève à 500 composants par jour. On appelle X la variable aléatoire qui représente le nombre de produits défectueux par jour de production. Travail à faire : 1) Déterminer la loi de probabilité suivie par X. 2) Calculer l’espérance mathématique E(X), la variance V(X) et l’écart-type (X) arrondi à 2 décimales. 3) Vérifier que la loi de X peut être raisonnablement approximée par une loi normale. 4) Calculer la probabilité que le nombre de produits défectueux par jour soit inférieur ou égal à 35. EXERCICE 4– Approximation d'une loi de Poisson par une loi normale Par le passé, il a été constaté qu’au cours d’une période de 90 jours de travail, le nombre moyen de pannes de machines nécessitant l’intervention du service de maintenance d’une entreprise était de 20. Ces pannes surviennent totalement au hasard et sont indépendantes entre-elles. On appelle X la VA « nombre de pannes sur une période de 90 jours ». Le responsable de la maintenance estime que X suit une loi de Poisson. Travail à faire : 1) Calculer l’espérance mathématique E(X), la variance V(X) et l’écart-type (X) arrondi à 2 décimales. 2) Vérifier que la loi de X peut être raisonnablement approximée par une loi normale. 3) Calculer la probabilité que le nombre de pannes sur une période de 90 jours soit : a. supérieur ou égal à 25 ; b. inférieur à 15. 3) Changements de variables (revoir chapitre 2) Soient X1 et X2 deux lois normales indépendantes :  X1 → N(m1 ; σ1)  X2 → N(m2 ; σ2) Soient a et b deux réels Produit d’une loi normale par un réel aX+b → N(am+b ; √a²σ 2) = N(am+b ; |a|) |a| désigne la valeur absolue de a. La variable aléatoire a X + b suit la loi normale d'espérance am+b et d'écart type |a| (la variance est a2 2). Ajouter le réel b ne modifie pas la valeur de la variance et de l’écart-type : aX → N(am ; √a²σ 2). Somme de lois normales indépendantes X1 + X2 → N(m1+m2 ; √σ 1 2+σ 2 2) L’indépendance est nécessaire pour affirmer que X1 + X2 suit une loi normale de moyenne m1+m2 et d’écart-type√σ 1 2+σ 2 2. Attention : l’écart-type n’est pas la somme des écarts-types. Pour les calculs, il faut toujours passer par la variance. La variance est 1 2 + 2 2, l’écart-type est obtenu en prenant la racine carrée. Différence de lois normales indépendantes X1 - X2 → N(m1-m2 ; √σ 1 2+σ 2 2) Remarque : l’écart-type est le même que dans le cas de la somme. Seule la moyenne est différente (m1-m2). EXERCICE 5 – Utilisation de la loi normale pour calculer la probabilité d’atteindre un seuil de rentabilité Un ancien coureur cycliste s’est reconverti dans la fabrication artisanale de vélos de course sur route. Sa clientèle est composée d’amateur-e-s qui pratiquent la compétition. Il propose deux types de vélo : - un vélo de course classique noté V1 et vendu 4 000 euros HT ; - et un vélo plutôt destiné aux triathlètes noté V2 et vendu 4 500 euros HT. Le taux de marge sur coût variable sur chaque vélo est en moyenne de 30 % (les coûts variables sont sensiblement les mêmes pour chaque type de vélo). Les charges de structure (fixes) annuelles s’élèvent à environ 150 000 euros HT. Des études statistiques ont montré qu’il était possible de considérer que les ventes annuelles Q1 et Q2 de cette entreprise suivent les lois normales suivantes : (le premier paramètre étant la moyenne et le second l’écart-type). - Q1 → N(200 ; 40) Q1 est la VA représentant le nombre de vélos V1 vendus ; - Q2 → N(140 ; 50) Q2 est la VA représentant le nombre de vélos V2 vendus. Les variables aléatoires Q1 et Q2 sont indépendantes. On désigne par R la variable aléatoire représentant le résultat réalisé sur les ventes de vélos. Travail à faire : 1) Écrire la variable aléatoire R en fonction des variables aléatoires Q1 et Q2. 2) Préciser la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire R et calculer ses paramètres. 3) Calculer la probabilité d’atteindre le seuil de rentabilité. 4) Trouver uploads/Litterature/ chapitre-5-math-fi.pdf