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Par Paul CHEGE African Virtual university Université Virtuelle Africaine Univer

Par Paul CHEGE African Virtual university Université Virtuelle Africaine Universidade Virtual Africana Probabilités et statistiques Université Virtuelle Africaine 1 Note Ce document est publié sous une licence Creative Commons. http://en.wikipedia.org/wiki/Creative_Commons Attribution http://creativecommons.org/licenses/by/2.5/ License (abréviation « cc-by »), Version 2.5. Université Virtuelle Africaine 2 I. Probabilités et statistiques____________________________________ 3 II. Prérequis / connaissances préalables nécessaires__________________ 3 III. Volume horaire/temps_ _______________________________________ 3 IV. Matériels didactiques_ _______________________________________ 3 V. Justification/Importance du module_____________________________ 3 VI. Contenu__________________________________________________ 5 6.1 Résumé_ _______________________________________________ 5 6.2 Contour/grandes lignes_ ___________________________________ 6 6.3 Représentation graphique__________________________________ 7 VII. Objectif général_____________________________________________ 8 VIII. Objectifs spécifiques aux activités d’apprentissage_ _________________ 8 IX. Activités d’enseignement et d’apprentissage_ ______________________ 10 X. Concepts-clés (glossaire)_____________________________________ 13 XI. Lectures obligatoires_ ________________________________________ 20 XII. Ressources obligatoires______________________________________ 22 XIII. Liens utiles________________________________________________ 23 XIV. Activités d’apprentissage_ ____________________________________ 25 XV. Synthèse du module________________________________________ 119 XVI. Évaluation sommative_______________________________________ 120 XVII. Références bibliographiques_ _________________________________ 128 XVIII.Fiche d’évaluation__________________________________________ 129 XIX. Auteur du module__________________________________________ 129 XX. Structure ________________________________________________ 130 Table des matières Université Virtuelle Africaine 3 I. Probabilités et statistiques Par Paul Chege II. Prérequis/ connaissances préalables nécessaires Cours de statistiques et probabilités au secondaire. III. Volume horaire/temps La durée de ce module est de 120 heures. IV. Matériels didactiques Les étudiants devraient avoir accès aux lectures mentionnées plus loin. De plus, ils auront besoin d’un ordinateur pour avoir accès à ces lectures. Par ailleurs, les étu- diants devraient pouvoir installer le logiciel wxMaxima et l’utiliser pour pratiquer des concepts algébriques. Ils doivent également avoir accès au logiciel du microsoft office Excel qui traite les lois de probabilités usuelles, les tests statistiques, et analyses statistiques descriptives et inférentielles classiques. V. Justification/Importance du module Les probabilités et les statistiques, en plus d’être un élément clé dans l’ensei- gnement au secondaire, fournissent un bagage important pour les mathéma- tiques avancées au niveau tertiaire. Les statistiques font partie de la base des mathématiques appliquées dans la plupart des sujets académiques et sont très utiles pour l’analyse dans des industries de production. Les spécialistes de statistiques appelés statisticiens analyseront des données brutes cueillies dans le domaine pour fournir un aperçu sur le comportement de la population. Les statistiques fournissent aux gouvernements et aux organisations un résumé concret d’une situation qui aidera les dirigeants à prendre une décision. Par exemple, le taux de propagation des maladies, des rumeurs, des incendies de forêt, la modélisation de la pluviométrie et les évolutions de population ou le mouvement démographique. Université Virtuelle Africaine 4 D’autre part, l’étude des probabilités aidera à la prise de décision des agents gouvernementaux et des organisations basées sur la théorie de la chance. Par exemple : prédire les sexes nouveau-nés sur une certaine période et projeter le niveau de la quantité des pluies sur des régions, eu égard aux données histori- ques sur le sujet. Les probabilités sont aussi utilisées dans le choix du niveau de qualité de certains produits dans la production industrielle, (comme) par exemple, le nombre de pièces défectueuses prévues dans le processus manu- facturier d’une industrie. Enfin, à un niveau plus avancé, en cette ère de la nouvelle technologie de l’information, grâce à la puissance accrue des ordinateurs et à la performance des algorithmes pour traiter de gros volumes des données, l’étude statistique des tickets de caisse permet de mieux optimiser la liquidation des articles dans une grande surface en tenant compte des associations des produits vendus. Cela relève du domaine communément appelé la fouille des données ou le data mining qui traite différents types des données, données qualitatives et / ou quantitatives, et qui comprend plusieurs méthodes telles l’analyse des règles d’association, les analyses factorielles de composantes principales, de correspondances, etc. Dans ce module de cours, on se limitera essentiellement à l’étude des données quantitatives. Le logiciel Excel du microsoft office fait partie d’outils didac- tiques à travers son module Outils/Utilitaires d’Analyses. Université Virtuelle Africaine 5 VI. Contenu 6.1 Résumé Ce module est divisé en trois unités : Unité 1 : Les statistiques illustrées (qualificatives**) et la distribution de proba- bilités Les statistiques illustrées dans l’unité 1 sont développées, soit par extension aux mathématiques au niveau secondaire, soit comme une introduction pour ceux qui apprennent les statistiques pour la première fois. Cette unité introduit la mesure de la dispersion dans les statistiques. Elle introduira aussi les concepts de probabilités et le traitement théorique des probabilités. Unité 2 : Les variables aléatoires et la distribution Cette unité requiert l’unité 1 en prérequis. Elle parle du moment et des fonctions produisant le moment, les inégalités de Markov et Chebychev, les distributions spéciales à une variable, les distributions des probabilités à deux variables et l’ana- lyse des probabilités conditionnelles. Cette unité donne un aperçu sur l’analyse des coefficients de corrélation linéaires et la distribution des fonctions de variables aléa- toires, comme, par exemple, le khi carré, T et F. Utilisation de Excel sous Outils/ Utilitaires d’analyse. Unité 3 : La théorie des probabilités Cette unité a été conçue à partir de l’unité 2. Elle analyse la probabilité en utilisant un indicateur de fonctions. Elle introduit les vecteurs aléatoires inégaux de Bonfe- roni, les fonctions de production, les fonctions caractéristiques et les échantillons aléatoires de statistiques indépendantes. Cette unité montre en détail les concepts de fonctions de plusieurs variables et l’indépendance de X et de S2 dans des échantillons gaussiens de statistiques d’ordre. Cette unité résume le traitement de divers modes de convergence et des théorèmes limites. Université Virtuelle Africaine 6 6.2 Contour/grandes lignes Unité 1 (40 heures) : Les statistiques illustrées et la distribution de probabilités Niveau 1. Priorité A. Sans prérequis. La fréquence des distributions relatives et cumulatives, les courbes à fréquence variables, les moyennes, le mode et la médiane. Les quartiles et les percentiles, les écarts-types, les distributions symétriques et asymétriques. La probabilité; les échantillonnages et les événements; la définition des probabilités; les propriétés des probabilités; les variables aléatoires; la probabilité des distributions; Bernouli, lois binômiales, lois de Poisson, lois géométriques, lois hypergéométriques, lois uniformes, lois exponentielles et lois normales. Des distributions à deux variables. Les tables des lois de probabilité jointes et les lois de probabilité marginales. Unité 2 (40 heures) : Les variables aléatoires et la distribution Niveau 2. Priorité B. Prérequis : Statistiques 1. Moments et fonction génératrice de moments. Les inégalités de Markov et Cheby- chev, des distributions univariées spéciales. La probabilité de distributions à deux variables; les distributions marginales et conditionnelles communes; l’indépendance; l’anticipation de la régression et de la corrélation à deux variables; l’analyse de la régression et du coefficient de corrélation pour des données à deux variables. La distribution de variables aléatoires, la distribution normale à deux variables. Les distributions dérivées comme le khi carré, T. et F. Unité 3. (40 heures) : La théorie des probabilités Niveau 3. Priorité C. Prérequis : Statistiques 2. Probabilités : Utilisation des fonctions indicatrices. Les inégalités de Bonferoni et les vecteurs aléatoires. Les fonctions génératrices. Les fonctions caractéristi- ques. L’indépendance des statistiques et échantillons aléatoires. La distribution multinomiale. Les fonctions de plusieurs variables aléatoires. L’indépendance de € X et de S2 dans des échantillons normaux. Statistique d’or- dre. Lois normales multidimensionnelles. Convergence et théorèmes limites. Exercices pratiques. Université Virtuelle Africaine 7 6.3 Représentation graphique de l’organisation Les inégalités de Markov et de Chebychev Les distributions dérivées, le khi deux, t et F. Les lois à une variable et à deux variables DONNÉES Les tableaux de probabilités usuelles La moyenne, le mode et la médiane Les courbes à fréquence variable, les quartiles et les percentiles Les fonctions génératrices et caractéristiques et les échantillons aléatoires Les indicateur s de fonctions La probabilité des distributions Le moment et fonction génératrice des moments Les inégalités de Bonferoni, les vecteurs aléatoires Loi multinomiale, les fonctions de variables aléatoires Variance et écart type Les probabilités La régression et la corrélation Les lois marginales et conditionnelles usuelles Les lois multidimensionnelles , la convergence et théorèmes limites Université Virtuelle Africaine 8 VII. Objectif général À la fin de ce module, l’étudiant devrait être en mesure de calculer les diffé- rentes mesures de dispersions dans les statistiques et d’effectuer des probabi- lités basées sur les lois de la probabilité, de faire des tests sur des données en utilisant les théories de la probabilité. VIII. Objectifs spécifiques aux activités d’apprentissage Unité 1 : Les statistiques illustrées et la distribution de probabilités (40 heures) À la fin de l’unité 1, l’étudiant devrait être en mesure de : • Dessiner diverses courbes de fréquences • Trouver la moyenne, le mode, la médiane, les quartiles, les percentiles et les écarts-types de données regroupées • Définir et énoncer les propriétés des probabilités • Illustrer des variables aléatoires, des probabilités de distributions, et les valeurs attendues de variables aléatoires • Illustrer les distributions de Bernoulli, les lois binomiales, lois de Poisson, lois géométriques, hypergéométriques, uniformes, exponentielles et normales • Faire des enquêtes sur les fréquences de distribution à deux variables • Construire des tableaux de probabilités communes et marginales Unité 2 : Les variables aléatoires et la distribution (40 heures) À la fin de l’unité 2, l’étudiant devrait être en mesure de : • Illustrer le moment uploads/Litterature/ probabilites-et-statistiques.pdf