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Autour de la proportionnalité Alaeddine BEN RHOUMA Table des matières 1 La prop

Autour de la proportionnalité Alaeddine BEN RHOUMA Table des matières 1 La proportionnalité et la linéarité à travers l’histoire 1 1.1 La théorie des proportions dans Les éléments d’Euclide . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Les mathématiques chez les égyptiens : un aspect additif et linéaire . . . . . . . 3 1.3 Résolution des équations linéaires : « prêcher le faux pour savoir le vrai » . . . . 3 1.3.1 Fausse position simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3.2 Fausse position double . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Structure mathématique de l’objet proportionnalité 9 2.1 Motivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2 Les grandeurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3 Modèle général de la proportionnalité : grandeurs, mesures et variables numériques 11 Références 16 Qu’est ce que la proportionnalité ? Il s’agit d’une relation particulière entre deux grandeurs (ou plutôt leurs mesures) ou entre deux suites de nombres. Ces deux suites de nombres (associées ou non à des grandeurs) doivent être multiples l’une de l’autre et être donc telles que toute combinaison linéaire de valeurs de l’une corresponde à la même combinaison linéaire des valeurs correspondantes de l’autre. 1 La proportionnalité et la linéarité à travers l’histoire 1.1 La théorie des proportions dans Les éléments d’Euclide Voici un extrait du livre V des éléments d’euclide : On dit de quatre grandeurs, a ;b ;c ;d, prises dans cet ordre, que la première est à la deuxième dans le même rapport que la troisième est à la quatrième, quand n’importe quel équimultiple de la première et de la troisième grandeur est en même temps et respectivement soit supérieur, soit égal, soit inférieur à n’importe quel autre équimultiple de la deuxième et de la quatrième grandeur. 1 En traduisant cette déﬁnition avec le langage mathématique moderne on obtient la déﬁnition suivante : Les rapports a b et c d sont égaux si pour tous p, q ∈N, on a l’un des trois cas suivants : (i) qa < pb ⇔qc < pd (ii) qa > pb ⇔qc > pd (iii) qa = pb ⇔qc = pd Remarque : Euclide ne considérait que les grandeurs commensurables et homogènes, autre- ment dit, les grandeurs de même type dont leur rapport est un nombre rationnel. De plus, un rapport de grandeurs a b n’a pas de notion propre à lui et il est vu par euclide comme une « manière d’être » entre deux grandeurs homogènes et c’est la notion de proportion qui précise la notion de rapport. En eﬀet, euclide ne considère pas le rapport de deux grandeurs a b comme un nombre, mais comme un objet mathématique qu’on ne peut que le comparer à un autre objet de « même type » qui est aussi un rapport de deux grandeurs c d. Finalement, c’est seule la proportion a b = c d qui nous donne une information quantitative en exhibant deux entiers p et q tels que si qa = pb alors qc = pd. Précisons, toujours selon euclide, que qa n’est pas un nombre mais c’est un multiple entier de la grandeur a. Puis voici un deuxième extrait des Éléments d’euclide : Si plusieurs grandeurs sont en proportion, le rapport de l’un des antécédents au conséquent correspondant est égal au rapport de la somme de tous les antécédents à la somme de tous les conséquents. Qu’on pourrait traduire en langage mathématique moderne par la proposition suivante : Si a1 b1 = · · · = an bn alors a1 b1 = a1 + · · · + an b1 + · · · + bn Remarque : Ici, on est toujours dans la même vision euclidienne évoquée plus haut, et on peut voir cette propriété sous un angle géométrique en considérant des segments dont la grandeur étudiée est la longueur. Donc, la propriété se traduit de la façon suivante : Si le rapport des longueurs [AiBi] par [CiDi] sont égaux deux à deux pour tout i ∈{1; · · ·; n}, alors le rapport des longueurs de [A1B1] par [C1D1] est égal au rapport de la longueur de la juxtaposition des [AiBi] par la juxtaposition des [CiDi]. Néanmoins, avec les outils actuels, en considérant que a1 b1 = k, où k est un nombre, on peut établir la propriété précédente qu’avec des considérations algébriques. En eﬀet, si a1 b1 = k et si a1 b1 = · · · = an bn , alors pour tout i ∈{1; · · ·; n} ai bi = k et donc ai = kbi. Nous en déduisons alors que a1 + · · · + an b1 + · · · + bn = kb1 + · · · + kbn b1 + · · · + bn = k(b1 + · · · + bn b1 + · · · + bn) = k. D’où le résultat de la propriété. 1.2 Les mathématiques chez les égyptiens : un aspect additif et li- néaire Quelque soit le type d’opération, les égyptiens la ramenaient à des additions. Les scribes égyptiens laissent supposer qu’on disposait de tables d’additions ou qu’on les connaissait par coeur par la force des choses. La multiplication s’eﬀectue par duplications successives. Par exemple, pour eﬀectuer 27×48, les égyptiens procédaient de la manière suivante : 1 2 4 8 16 27 48 96 192 384 768 1296 Nous remarquons que ce tableau est un tableau de proportionnalité dans lequel les lignes sont obtenues, soit en multipliant la ligne précédente par deux, soit en additionnant des lignes sélectionnées en vue d’obtenir un résultat bien déterminé (27 dans cet exemple). En eﬀet, sur la première ligne du tableau on a : 1 + 2 + 8 + 16 = 27 et dans ce cas, on obtient 48 + 96 + 384 + 768 = 1 296 à partir de la deuxième ligne . On obtient alors 27 × 48 = 1 296. La division est traitée comme opération inverse de la multiplication. Par exemple, pour diviser 144,5 par 8,5, les égyptiens se demandaient par quoi il faut multiplier 8,5 pour obtenir 144,5. Ils procédaient alors de la manière suivante : 1 2 4 8 16 17 8,5 17 134 68 136 144,5 Il s’agit encore d’un tableau de proportionnalité dans lequel on obtient à partir de la deuxième ligne 144, 5 = 136 + 8, 5. Dans ce cas, l’addition correspondante dans la première ligne est 1 + 16 = 17. Ils arrivaient alors à conclure que 144, 5 ÷ 8, 5 = 17. 1.3 Résolution des équations linéaires : « prêcher le faux pour savoir le vrai » 1.3.1 Fausse position simple Pour résoudre une équation de type ax = b, rien de plus simple ! Il suﬃt d’écrire x = b a et le tour est joué. Mais cette résolution rapide et exacte est le fruit de plusieurs siècles de recherche, de tâtonne- ment et enﬁn de formalisation qui est arrivée assez tardivement dans l’histoire des mathéma- tiques pour aboutir à l’algèbre moderne. La majorité des historiens des mathématiques estiment que la naissance de l’algèbre est due principalement au mathématicien al khawarizmi au dé- but du IXe siècle. Comment faisait-t-on, alors, pour résoudre une équation de premier degré ? Peut-on se passer des outils de l’algèbre ? La réponse est évidement « OUI ! », et pour cela évoquons la méthode de « la fausse position ». Il s’agit d’un procédé de résolution qui consiste à fournir une solution approchée conduisant, par un algorithme approprié tirant parti de l’écart constaté, à la solution du problème considéré. Revenons alors aux égyptiens, et observons, par exemple, comment ils résolvaient l’équation x + 1 5x = 13 . On choisit un nombre qui permet d’éviter l’apparition rapide de fractions. On suppose alors que la solution est 5 et on calcule 5 + 1 5 × 5. 1 1 5 1 + 1 5 5 1 6 Donc en supposant que la solution soit 5, on obtient 5+ 1 5 ×5 = 6. Or, on aurait dû trouver 13. Donc, on tient le raisonnement suivant : la proportion de 13 à 6 est la même que celle de la solution cherchée à 5. On est ainsi amené à diviser 13 par 6 selon la méthode utilisée dans la section uploads/Litterature/ article-proportionnalite.pdf