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Binaire et hexadécimal Ici, je vous apprendrais ce qu'il faut savoir à propos d

Binaire et hexadécimal Ici, je vous apprendrais ce qu'il faut savoir à propos du mode de comptage binaire et de la conversion entre ces deux bases. On verra aussi la base 16 qui est l'hexadécimal, ainsi qu'une généralisation à toutes les bases. Sommaire  Comment comptons nous en décimal ?  Le binaire o Présentation o Conversion du décimal en binaire  Méthode 1 : les puissances de 2  Méthode 2 : les divisions euclidiennes par 2 o Conversion du binaire en décimal  l'Hexadécimal o Présentation o Conversion du décimal en hexadécimal o Conversion de l'hexadécimal en décimal o Conversion du binaire en hexadécimal o Conversion de l'hexadécimal en binaire  Généralisation à toutes les bases o Principe  Exemple : 160 en base 7  Exemple : 600 000 en base 82  Effectuer des opérations dans d'autres bases o En binaire  Additionner en binaire  Multiplier deux nombres en binaire  Conclusion o petites notes  Convertisseur automatique Comment comptons nous en décimal ? Pour bien comprendre comment on compte dans les autres bases, il est indispensable de revoir comment est fait notre système en base dix. En effet, tout le monde sait compter en base 10. C'est pratique dans la vie de tous les jours. Mais comment fonctionne notre mode comptage réèlement ? Comment est construit notre système de nombres ? Pour répondre à cela, oublions tout et reprennons depuis le début : comment avez vous appris à compter à l'école ? Ça peut parraître simple comme question, mais notre système de comptage suit une logique simpliste. Sa compréhension est la clé qui vous ouvrira ensuite la porte pour apprendre à compter dans n'importe quelle autre base. Dans la pratique, nous comptons en base 10. Certains diront que cette pratique est venue du fait que nous avons 10 doigts. Il en découle principalement deux choses :  Il existe 10 chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9.  Avec ces chiffres ont peut compter jusqu'à 9. (La plus haute valeur des chiffres.) Pour aller au delà de 9 il faut changer de rang. Ça veut dire que si le rang des unités est plein, on commence le rang des dizaines et on remet les unités à zéro. Ensuite, on re-complète le rang des unités jusqu'à ce qu'il soit de nouveau plein. Puis on ajoutera une dizaine et les unités seront de nouveau remis à 0, et ainsi de suite. Par exemple, arrivé à 19, le rang des unités est plein. On ajoute donc une dizaine et on remet à zéro le rang des unités : on arrive donc à 20. Vous me suivez ? J'ai parlé de rangs des centaines, de dizaines et d'unités. On voit que une centaine vaut 10 dizaines et que une dizaines vaut 10 unités. Plus mathématiquement, un rang est égale au précédent multiplié 10. On peut dire que chaque rang est à une puissance de 10 supérieur au précédent. De cette manière, le nombre 56 = 50 + 6 mais que l'on peut aussi écrire 56 = 5×101 + 6×100. Ce que je viens de faire, c'est décomposer 56 en puissances de 10 (unités, dizaines, centaines…). On peut décomposer chaque nombre en puissances de 10 successives. Par exemple, 3506 = 3×103 + 5×102 + 6×100. Avec cette explication, vous devez avoir compris qu'en base 10 :  On change de rang dès que la précédente est à 9.  On peut décomposer tous les nombres en puissance de 10.  Si on décompose un nombre en puissances de 10, c'est parce que 10 est notre base. Ceci est important, car en base 2, il faudra décomposer en puissances de… Deux ! Sommaire Le binaire Présentation Le binaire est le mode de comptage non plus en base 10 mais en base 2. Il est utilisé par les ordinateurs, car les machines ne peuvent comparer que deux valeurs : des 1 et des 0. Je vous avais parlé des rangs (unités, dizaines, centaines…), et bien sachez qu'en binaire on emploie le mot « bit » (contraction de « binary-digit », signifiant simplement « rang binaire »). Par exemple, le nombre en base 2 « 10011 » s'étale sur 5 bit. Là où cela se complique, c'est qu'en binaire chaque rang ne peut prendre que deux valeurs (il pouvait en prendre dix en décimal). Donc, dès que le rang atteint sa deuxième – la plus haute – valeur on change de rang. En binaire, un rang commence à 0 et se termine à 1. Vous pouvez en comprendre que chaque bit représente une puissance de 2, tout comme chaque rang en base 10 est une puissance de 10. Bon, pour commencer et tenter d'y voir un peu plus clair, on va compter en binaire jusqu'à dix : valeur en décimal : équivalent en binaire : explications : 0 0 logique ! 1 1 simple ! 2 10 Le premier rang a atteint le maximum autorisé ! Qu'à cela ne tienne, on passe au rang suivant. On met le second à 1 et on remet le premier à 0. valeur en décimal : équivalent en binaire : explications : 3 11 On re-remplit le rang 1. 4 100 Le rang 1 est plein, mais le 2 aussi ! On passe donc au troisième et on remet les précédents à 0 (comme on le fait lorsque l'on passe de 0999 à 1000, par exemple). 5 101 On procède de même. 6 110 7 111 8 1000 On entame le quatrième rang. 9 1001 On recommence au premier… 10 1010 On rempli les rangs. Il suffit d'appliquer une règle : entamer le rang suivant quand celui en cours est plein! Bon, pour compter jusqu'à 10 ou même 20, cela va encore de remplir ce tableau, mais si je vous demande de convertir 450 en binaire ? Vous n'allez pas monter un par un, si ? Dans ce qui suit, on va voir une technique générale. Sommaire Conversion du décimal en binaire Pour le moment, on n'a compté jusqu'à dix. Mais on ne sait pas encore convertir. Sans plus attendre donc, voici la conversion ! Méthode 1 : les puissances de 2 Pour y arriver, on doit décomposer notre nombre en puissances de 2. C'est le même principe que la décomposition en puissances de dix, sauf que l'on ne décompose pas en milliers, centaines et dizaines, mais en puissances de deux ; qui sont : 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 …, 512, 1024, etc (une valeur est égale à la précédente multipliée par 2). Ainsi, si l'on prend l'exemple du nombre 26, on obtient la décomposition suivante : 26 = 16 + 8 + 2. Il suffit ensuite de remplacer ces nombres par les puissances : 26= 16 + 8 + 2 26= 1×16 + 1×8 + 1×2 26= 1×24 + 1×23 + 1×21 (on écrit les coef sous forme de puissances de 2) 26= 1×24 + 1×23 + 0×22 + 1×21 + 0×20 (on ajoute les puissances de 2 qui manquent) 26= 1×24 + 1×23 + 0×22 + 1×21 + 0×20 (voyez les puissances de 2 qui sont toutes là) 26= 1×24 + 1×23 + 0×22 + 1×21 + 0×20 (en orange : notre nombre en binaire !) Il est important de ne pas oublier les puissances dont les coefficients sont zéro. Finalement, pour obtenir le nombre 26 en binaire, il suffit de mettre les coefficients qui sont devant les puissances de 2 à la suite. On obtient : 11010. On écrit : (26)dec = (11 010)bin Je récapitule la méthode : 1. On a notre nombre en décimal. 2. On le décompose en valeurs de puissances de 2 3. Si certaines puissances manquent, on les rajoutent en mettant 0 devant. 4. On lit les coefficients devant les puissances de 2, ce sera notre nombre en binaire ! 5. Par commodité, d'écriture, on regroupe les chiffres par 4. (par ex : 101010101 se notera 1 0101 0101). On verra pourquoi plus loin. Méthode 2 : les divisions euclidiennes par 2 Tout aussi simple à comprendre. Cette méthode est mieux pour des grands nombres et est plus facile à utiliser en programmation (il est facile d'en faire un algorithme). Voilà comment on fait :  On a notre nombre en décimal.  On le divise par 2 et on note le reste de la division (c'est soit un 1 soit un 0).  On refait la même chose avec le quotient précédent, et on met de nouveau le reste de coté.  On re-itère la division, et ce jusqu'à ce que le quotient est 0.  Le nombre en binaire apparaît : le premier à placer est le dernier reste non nul. Ensuite, on remonte en plaçant les restes que l'on avait. On les place à droite du premier 1. Comme rien ne vaut un exemple :  Notre nombre est 164  164 ÷ 2 = 82 + 0  82 ÷ 2 = 41 + 0 uploads/Litterature/ binaire-et-hexadecimal 1 .pdf