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Charge et décharge d’un condensateur à travers une résistance Charge et décharg

Charge et décharge d’un condensateur à travers une résistance Charge et décharge du condensateur – Fiche de référence 30 1/4 Lycée Jules Ferry – Versailles - LD 2006 - 2007 1. Charge d’un condensateur avec un courant constant Lorsque l'on charge un condensateur avec un courant constant I, la loi de charge est linéaire : 2. Charge d’un condensateur à travers une résistance 2.1. Évolution de la d.d.p. aux bornes du condensateur : Dans le montage de la figure ci-dessous, un condensateur, préalablement déchargé, est alimenté par un générateur, de f.e.m. E et de résistance interne négligeable, à travers un élément résistif de valeur R. uR i R E uC C Montage pour le relevé de la courbe de charge d'un condensateur. La d.d.p. uC aux bornes du condensateur est relevée à intervalles de temps réguliers. La courbe de la figure ci-dessous représente les variations de uC (en pourcentage de la tension d’alimentation E) en fonction du temps (l’abscisse est graduée en fonction de la constante de temps tau ( τ )). La courbe de charge d'un condensateur est une exponentielle. Quand, la ddp uC ne varie plus, le condensateur est chargé. V Charge du condensateur 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% 0 1 2 3 4 5 6 τ (s) Pourcentage de la tension d'alimentation E UC t I t C UC ( ) . ( ) = + 0 Charge et décharge d’un condensateur à travers une résistance Charge et décharge du condensateur – Fiche de référence 30 2/4 Lycée Jules Ferry – Versailles - LD 2006 - 2007 2.2. Durée de charge: La durée de charge d'un condensateur de capacité C à travers un élément résistif de résistance R est fonction du produit R.C. Le produit R.C est appelé Constante de temps du circuit et représenté par la lettre grecque tau ( τ ) R en ohms C en farads τ en secondes. Plus la constante de temps est grande, plus la charge du condensateur est lente. Par exemple pour R = 10 kΩ et C = 1000 µF on a : τ = R. C = (10.103) . (1000.10- 6) soit τ = 10 s Théoriquement, la charge d'un condensateur ne se termine jamais. Pratiquement, un condensateur est considéré comme totalement chargé au bout d'une durée t égale à 5 fois la constante de temps, la d.d.p. à ses bornes est alors égale à 99% de la d.d.p. d'alimentation. On peut regarder l’évolution de uC (t) (en pourcentage de la tension d’alimentation E) en fonction du temps (gradué en fonction de τ) : Temps (s) 1τ 2τ 3τ 4τ 5τ uC (t) 63% de E 86% de E 95% de E 98% de E 99% de E Remarque: La constante de temps est fonction de la capacité du condensateur et de la résistance en série avec le condensateur. 2.3. Détermination par le calcul: Hypothèse: Le condensateur est totalement déchargé à l'instant initial. En instantané, pour un condensateur, nous avons la relation : dt t du C t i c c ) ( ) ( = . En écrivant la loi des mailles on obtient : ) ( ) ( t u t u E c r + = . De plus, ) ( ) ( t i R t u c r ⋅ = soit dt t du RC t u c r ) ( ) ( = . On obtient ainsi l’équation différentielle : ) ( ) ( t u dt t du RC E c c + = . On démontre que l’équation différentielle a pour solution : ( ) τ / 1 ) ( t c e E t u − − = avec τ = R.C. Uniquement dans le cas de l’hypothèse (à t = 0 s, uc = 0 V). τ = R . C Charge et décharge d’un condensateur à travers une résistance Charge et décharge du condensateur – Fiche de référence 30 3/4 Lycée Jules Ferry – Versailles - LD 2006 - 2007 3. Décharge d’un condensateur à travers une résistance: 3.1. Évolution de la d.d.p aux bornes du condensateur: Un condensateur, préalablement chargé sous une d.d.p. E, est relié à un élément résistif R selon le schéma ci-dessous : Montage pour le relevé de la courbe de décharge d'un condensateur. La variation de la d.d.p. uC (t) aux bornes du condensateur en fonction du temps est représentée figure ci-dessous, les valeurs du montage étant : Au début de la décharge, la d.d.p uC est maximale et égale à E. Théoriquement, la décharge d'un condensateur ne se termine jamais. Pratiquement, au bout d'une durée égale à 5 fois la constante de temps, soit 50 s dans l'exemple (pour R = 10 kΩ et C = 1000 µF), le condensateur est complètement déchargé, la d.d.p. à ses bornes est nulle. On peut regarder l’évolution de uC (t) (en pourcentage de la tension d’alimentation E) en fonction du temps (gradué en fonction de τ) : Temps (s) 1τ 2τ 3τ 4τ 5τ uC (t) 37% de E 14% de E 5% de E 2% de E 1% de E 3.2. Détermination par le calcul: Hypothèse: Le condensateur est totalement chargé à l'instant initial De la même manière qu’en 1.3, on obtient l’équation différentielle : ) ( ) ( 0 t u dt t du RC c c + = . On démontre que l’équation différentielle a pour solution : τ / ) ( t c e E t u − ⋅ = avec τ = R.C. Uniquement dans le cas de l’hypothèse (à t = 0 s, uc = E). i V C R uC Décharge du condensateur 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% 0 1 2 3 4 5 6 τ (s) Pourcentage de la tension d'alimentation E Charge et décharge d’un condensateur à travers une résistance Charge et décharge du condensateur – Fiche de référence 30 4/4 Lycée Jules Ferry – Versailles - LD 2006 - 2007 4. Formule générale de la charge et de la décharge d’un condensateur à travers une résistance : ==> Soit le montage suivant (avec E1 > E2): Ce montage est l'association des 2 montages précédents (charge et décharge d'un condensateur). Mais sur ce montage le condensateur ne se décharge pas vers 0 V comme précédemment mais vers la tension E2. La formule générale de la tension aux bornes du condensateur est : ( ) τ τ / / 1 ) ( t ini t th c e V e E t u − − ⋅ + − = th E vaut E1 ou E2 suivant le position de l’interrupteur, cette tension peut être aussi notée f V (tension finale). En effet, c’est la tension vers laquelle le condensateur tend à se charger ou décharger. ini V indique la tension initiale aux bornes du condensateur (à t = 0). On déduit de la formule précédente une relation qui permet de calculer le temps a t nécessaire pour passer de ini V à a V ; a V tension intermédiaire entre ini V et f V : ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⋅ = a f ini f a V V V V t ln τ ln est la fonction mathématique du logarithme népérien. Remarque : si on fait tendre a V vers f V , le terme ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − a f ini f V V V V tend vers ∞ + , et le temps a t tend vers ∞ + . Ce qui est logique puisque en théorie a V tend vers f V sans jamais l’atteindre. Application : on reprend notre exemple R = 10 kΩ et C = 1000 µF, soit τ = 10 s. On suppose le condensateur chargé initialement à 2 V, E1 vaut de 5 V, E2 vaut de 2 V et l’interrupteur est en position charge. Au bout de combien de temps le condensateur atteint-il une tension de 4 V ? On a V Vini 2 = , V V f 5 = et V Va 4 = . Reste à appliquer la formule précédente : ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⋅ = 4 5 2 5 ln 10 4 V t Le condensateur atteint la tension de 4V au bout d’environ 10,99 secondes. On peut vérifier que V t u V c 4 ) ( 4 = : ( ) V e e t u V c 4 2 1 5 ) ( 10 / 99 , 10 10 / 99 , 10 4 = ⋅ + − ⋅ = − − Charge Décharge R C uC E1 E2 uploads/Litterature/ bipole-rc.pdf