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Calculs approchés Page 1 sur 3 Adama Traoré Professeur Lycée Technique Calculs

Calculs approchés Page 1 sur 3 Adama Traoré Professeur Lycée Technique Calculs approchés Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako I – Approximations décimales d’ordre n par défaut, par excès Soit le nombre décimal 2,37854. • Un encadrement distingué d’amplitude 0,1 ou 10–1 de x =2,37854 est 2,3 ≤ 2,37854 ≤ 2,4 2,3 est l’approximation décimale d’ordre 1 par défaut de 2,37854. 2,4 est l’approximation décimale d’ordre 1 par excès de 2,37854. • Un encadrement distingué d’amplitude 0,01 ou 10–2 de x =2,37854 est 2,37 ≤ 2,37854 ≤ 2,38 2,37 est l’approximation décimale d’ordre 2 par défaut de 2,37854. 2,38 est l’approximation décimale d’ordre 2 par excès de 2,37854. • Définition : d et x étant deux réels, n un entier naturel Exemples : Déterminer l’approximation décimale d’ordre 0 ; 1 ; 2 ; 3 par défaut et par excès de 7 5 ; 7 1 − de . .......... 714285 , 0 7 5 .......; 142857 , 0 7 1 − = − = Approximation décimale 7 1 7 5 − Par défaut Par excès Par défaut Par excès D’ordre 0 0 1 –1 0 1 0,1 0,2 – 0,8 – 0,7 2 0,14 0,15 – 0,72 – 0,71 3 0,142 0,143 – 0,715 – 0,714 4 0,1428 0,1429 – 0,7143 – 0,7142 II– Arrondi d’ordre n 1- Règles d’arrondi d’ordre n Pour obtenir l’arrondi d’ordre n d’un nombre dont on connaît le début de l’écriture décimale, on procède comme suit : – Si le (n+1)ième chiffre après la virgule est 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; on conserve les n premiers chiffres après la virgule. Donc l’arrondi d’ordre n est l’approximation décimale qui a la plus petite valeur absolue. – Si le (n+1)ième chiffre après la virgule est 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; l’arrondi d’ordre n est l’approximation décimale qui a la plus grande valeur absolue. 2- Exemples : ....... 645751 , 2 7 ; .......... 285714 , 1 7 9 ........; 141592654 , 3 = = = π L’arrondi d’ordre 2 de π est 3,14 ; L’arrondi d’ordre 4 de π est 3,1416 L’arrondi d’ordre 3 de 7 9 est 1,286 ; L’arrondi d’ordre 1 de 7 est 2,6. • d ∊ IDn • d ≤ x ≤ d + 10–n d est l’approximation décimale d’ordre n Par défaut de x Calculs approchés Page 2 sur 3 Adama Traoré Professeur Lycée Technique III – Ordre de grandeur d’un nombre décimal 1- Écriture Normalisée On dit qu’un nombre A a une écriture normalisée, s’il s’écrit sous la forme : . A ×10p ; avec A∊ID et p ∊ℤ . Exemples : 153 000 000 000 = 153 ×109 ; 0,000 017 = 17 ×10–6 = 1,7 ×10–5. 2- Ordre de grandeur Soit A×10p l’écriture normalisée d’un nombre décimal x. Soit k l’arrondi d’ordre 0 de A. Le nombre k×10p est appelé ordre de grandeur du nombre décimal x. Exemples : a) x = 0,000 5761 a pour écriture normalisée 5,761×10–4 et pour ordre de grandeur 6 ×10–4. b) x = 0,0016 a pour écriture normalisée 1, 6×10–3 et pour ordre de grandeur 2 ×10–4. IV- Valeur approchée a) Cherchons un encadrement de la somme ( ) 5 7 + . 2,236 ≤ 5 ≤ 2,237 2,645 ≤ 7 ≤ 2,646 ---------------------------------------- 4,881 ≤ 7 5 + ≤ 4,883 ( 7 5 + )∊ [4,881 ; 4,883] de centre 882 , 4 2 883 , 4 881 , 4 = + = C et de rayon 001 , 0 2 881 , 4 883 , 4 = − = r . On dit que 4,882 est une valeur approchée de ( 7 5 + ) à 0,001 près. b) Définition : Soit x un réel donné et Ű un réel strictement positif. On dit que le réel α est une valeur approchée à Ű près de x lorsque : . | x – α | ≤ Ű ou d ( x ; α ) ≤ Ű ou x ∊[ α–Ű ; α+Ű ] . α x Ű Ű α –Ű α +Ű Calculs approchés Page 3 sur 3 Adama Traoré Professeur Lycée Technique Le nombre réel strictement positif Ű est appelé incertitude associée à la valeur approchée α ou incertitude sur x. c) Exemple 1 : Déterminer une valeur approchée de 5 à 5.10–4 près. On sait que 2,236 ≤ 5 ≤ 2,237 Donc 5 ∊[2,236 ; 2,237 ] . Déterminons le centre et le rayon de cet intervalle C = 2,235 et r = 0,0005 On conclut que 2,235 et une valeur approchée de 5 à 5.10–4 près. d) Exemple 2 : Soit 5,3 une valeur approchée du nombre réel x à 2.10–2 près et soit 8,4 une valeur approchée du nombre réel y à 3.10–1 près. Déterminer une valeur approchée du produit xy et l’incertitude associée. Solution Nous savons que α est une valeur approchée de x à Ű près si et seulement si x ∊[ α–Ű ; α+Ű ]. (5,3 est une valeur approchée de x à 2.10–2 près) ⇔ ( x∊[5,3-0,02 ; 5,3+0,02] ) ⇔ x∊[5,1 ; 5,5]. (8,4 est une valeur approchée de y à 3.10–1 près) ⇔ ( y∊[8,4-0,3 ; 8,4+0,3] ) ⇔ y∊[8,1 ; 8,7]. x∊[5,1 ; 5,5] ⇔ 5,1 ≤ x ≤ 5,5. y∊[8,1 ; 8,7] ⇔ 8,1 ≤ y ≤ 8,7. ---------------------------- 41,31 ≤ xy ≤ 47,85 En faisant le produit membre à membre on obtient : 41,31 ≤ xy ≤ 47,85 ⇒ xy ∊[41,31 ; 47,85] ⇒ le centre C = 44,58 et le rayon r =3,27. D’où 44,58 est une valeur approchée de xy à 3,27 près. 3,27 est l’incertitude associée. uploads/Litterature/ calappro 1 .pdf