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1 SEGOUAT Gaëlle I.U.F.M Académie de Montpellier Site de Montpellier Exemples,

1 SEGOUAT Gaëlle I.U.F.M Académie de Montpellier Site de Montpellier Exemples, contre-exemples et preuves Contexte du mémoire : Discipline concernée : Mathématiques Classe concernée : Seconde Lycée Polyvalent Mas de Tesse, Montpellier Tuteur du mémoire : Freddy Bonafé Assesseur :Sylvie Pellequer Année universitaire : 2001-2002 2 Résumé : L’apprentissage de la démonstration est encore en cours en Seconde et l’utilisation des quantificateurs, si elle n’est pas formalisée, n’en est pas moins nécessaire. Ce travail porte sur les quantificateurs, l’implication et la preuve de la véracité ou de l’incorrection d’une affirmation comportant ces connecteurs logiques. Abstract : In Tenth grade, pupils are still learning how to prove ; a formal course about logic can’t be done at this stage, but quantifiers are used and too often implicit. This work deals with quantifiers, implication and proof of the truth or wrongness of an affirmation using these logical connectors. Mots-clés : preuve, démonstration, exemple, contre-exemple, reformulation, quantificateur, implication 3 I. Introduction : Tout est parti d’une question d’élève « Est-ce que, pour la question 2, des exemples ça suffit ? ». La question, en l’occurrence, demandait de démontrer que le carré d’un nombre pair est pair. Après tout, si un (contre-)exemple suffit pour montrer que « c’est faux », pourquoi un exemple ne suffirait-il pas pour montrer que « c’est vrai » ? Cet élève m’a d’ailleurs rendu l’exercice en exhibant les exemples de 2, 4, 128 et 0,124 ( !)... Pour convaincre cet élève (et il n’était pas le seul), il fallait d’abord savoir s’il est convaincu que deux ou trois exemples suffisent ou si sa « preuve » est située plus loin dans la typologie des preuves de Balacheff (exemple générique, expérience cruciale), auquel cas il faut encore le faire évoluer vers une preuve plus intellectuelle. Bien que les quantificateurs ne soient pas au programme de Seconde, il est explicitement demandé dans les documents d’accompagnement de « souligner l’universalité de certains énoncés » et se rendre compte qu’un contre-exemple suffit pour nier un énoncé universel, que des exemples ne suffisent pas pour prouver la véracité si l’ensemble considéré est infini. Enfin, les théorèmes énoncés en classe étant donnés soit sous forme d’énoncé universel, soit sous forme d’implication, le travail sur la contraposée permet de revenir sur le contre-exemple comme négation d’une implication. Nous ferons tout d’abord le point sur certaines notions théoriques : pour commencer le statut des énoncés en classe de mathématiques (beaucoup d’implicites qui perturbent les élèves), puis la typologie des preuves de Balacheff. Ensuite, nous nous intéresserons aux deux expériences qui m’ont permis de mettre le travail en place : une narration de recherche (qui met en évidence la différence entre situation de preuve et situation de recherche) et le test d’évaluation (basé sur l’exercice de l’évaluation de Seconde 2001-2002). Puis, nous décrirons les expérimentations effectuées en classe, travail qui s’est déroulé en trois temps : - un travail de reformulation (mise en évidence de quantificateurs et mise sous forme d’implication), - un travail de réduction de champ (un énoncé universel qui a des contre-exemples peut être rendu vrai en réduisant l’ensemble considéré) - un débat entre élèves pour leur faire dire qu’ »un exemple ne suffit pas ». Enfin, nous tirerons un bilan du travail effectué, grâce au post-test, analyserons les méthodes utilisées et proposerons d’autres pistes de travail. 4 II. Identification des problèmes en jeu : A. Programme de Seconde : Les documents d’accompagnement du programme de Seconde contiennent les commentaires suivants au sujet de la logique : « En classe de Seconde, les problèmes de logique mathématique concernent essentiellement l’implication et l’équivalence, la manipulation du contre-exemple, le ou et le et. Il ne s’agit pas bien sûr de faire des cours de logique formelle, mais on n’hésitera pas à aborder les problèmes de logique lorsqu’ils se présentent, notamment lors du travail écrit. On n’oubliera pas qu’au collège seule l’implication est utilisée : toute équivalence logique y est formulée en deux énoncés séparés en termes de si…, alors… ; en Seconde, on abordera le si et seulement si. On pourra utiliser les symboles ⇔ et ⇒ mais avec prudence et modération. Les symboles ∈, ⊂, ∪, ∩, ∅ et {…} seront employés à bon escient et sans excès. Les quantificateurs ∃ et ∀ ne sont pas au programme de la Seconde ; on soulignera cependant l’universalité de la plupart des énoncés mathématiques ; à propos d’une propriété portant sur un ensemble E, on insistera sur le fait que la seule exhibition d’un contre- exemple suffit à démontrer qu’elle est fausse et que si E est un ensemble infini, aucune liste de cas où elle est vraie n’en constitue une démonstration. » B. Statut des énoncés en classe de mathématiques : Il existe en classe de mathématiques des règles implicites qu’il est bon d’expliciter, comme le font M. Le Berre et V. Durand-Guerrier : lors d’un atelier à un colloque de l’IREM à Orléans en 1998, des enseignants ont mis en évidence ces trois règles de base du débat mathématique : - un énoncé mathématique est soit vrai soit faux ; - des exemples qui vérifient un énoncé ne suffisent pas pour prouver que cet énoncé est vrai ; - un exemple qui ne vérifie pas un énoncé suffit pour prouver que cet énoncé est faux. La première règle place le contexte logique : un énoncé mathématique est une proposition au sens habituel de la logique. Les deux dernières soulignent que ne sont considérés comme énoncés mathématiques que les énoncés universels. Dans un cadre de recherche mathématique, étant donné un énoncé universellement quantifié, on peut distinguer plusieurs cas, d’après V. Durand-Guerrier : - l’énoncé est vrai et prouvé, - l’énoncé ouvert a un petit nombre de contre-exemples et on peut modifier l’énoncé pour le rendre vrai (réduction de champ), - l’énoncé a de très nombreux exemples et contre-exemples caractérisables facilement (et on peut en faire deux théorèmes), - l’énoncé a de très nombreux exemples et contre-exemples non facilement caractérisables (auquel cas on renonce à un théorème et on déclare l’énoncé faux), - enfin s’il n’y a ni contre-exemple ni preuve, on déclare l’énoncé comme une conjecture (jusqu’à trouver une preuve ou une réfutation : par exemple, théorème de Fermat). Il est intéressant de remarquer que dans un cadre scolaire, la recherche mathématiques est très peu valorisée (sauf dans le cadre des narrations de recherche). Ce qui compte (ce qui est évalué), c’est la démonstration : un énoncé est donc toujours soit vrai, soit faux, il n’y a pas de reformulation possible. 5 1. Le contre-exemple en mathématiques : Qu’est-ce qu’un contre-exemple ? D’après G. Glaeser, il est défini comme suit. Pour prouver la négation d’un énoncé comportant une quantification universelle (tous les éléments d’un ensemble vérifient une propriété), il suffit de trouver un élément de l’ensemble considéré qui ne vérifie pas la propriété ; un tel élément s’appelle un contre-exemple. La recherche systématique de contre-exemples ne date que de la fin du XIXème siècle. Avant, les mathématiciens s’intéressent plus à la vérité qu’à la contradiction. Il en existe cependant des exemples plus anciens : les lunules d’Hippocrate, par exemple (une aire limitée par des lignes courbes ne s’exprime pas nécessairement à l’aide du nombre p). 2. Enoncés contingents : Une notion commune aux travaux de M. LeBerre et V. Durand-Guerrier est celle d’énoncé contingent. Le fait que la quantification soit en général implicite permet de mieux comprendre pourquoi certains élèves déclarent de certains énoncés qu’ils sont « parfois vrais et parfois faux ». Par exemple, l’énoncé « le carré d’un nombre est plus grand que ce nombre » est déclaré faux par l’enseignant car compris comme « le carré d’un nombre est toujours plus grand que ce nombre », alors que sans sous-entendus, il est parfois vrai, et parfois faux ! La règle « en mathématiques, des exemples qui rendent un énoncé vrai ne suffisent pas à prouver qu’il est vrai », devrait être précisée avec « toujours ». Les é lèves ont rencontré au cours de leur scolarité des énoncés contingents. Le premier exemple en est la célèbre preuve par 9 : si la multiplication est juste, alors la preuve par 9 fonctionne. La réciproque est fausse, mais elle est pourtant souvent implicite pour les élèves. En effet, le fait que la preuve par 9 fonctionne accroît la vraisemblance de la correction de la multiplication, et il n’y a qu’un pas (souvent vite fait) pour en déduire la certitude de la correction de la multiplication (et pourtant il suffit d’échanger deux chiffres distincts dans le résultat pour que le résultat soit faux et la preuve par 9 fonctionne !). Un autre énoncé contingent, plus proche des élèves de lycée, est le suivant : « (x+2)²=x²+4x+4 ». Est-ce une identité remarquable ou une équation ? Dans le premier cas, cet énoncé est vrai, dans le second, il pourrait dépendre de la valeur de x. Par contre, avec une « erreur », l’expression peut devenir « (x+2)²=x²+2x+4 », auquel cas il n’est plus question de la considérer comme uploads/Litterature/ exemple.pdf