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F I hi M A N U E L D E C A L C U L NUMÉRIQUE APPLIQUÉ s L ‘4 cl Christian Guilp

F I hi M A N U E L D E C A L C U L NUMÉRIQUE APPLIQUÉ s L ‘4 cl Christian Guilpin Maître de Conférence, responsable de 1 ‘enseignement des mathématiques appliquées en maîtrise de Physique et Applications à l’université Paris VII-Denis Diderot /EDPI SCIENCES 7, avenue du Hoggar Parc d’activité de Courtabœuf, BP 112 91944 Les Ulis Cedex A, France Avant-propos Ce livre de calcul appliqué trouve son origine dans un cours dispensé aux étudiants de maîtrise de physique et applications (MPA) à l’université Paris VII depuis 1984, ainsi que dans quelques préoccupations de recherche au laboratoire. Ce manuel ne constitue pas à proprement parler un cours au sens usuel du mot, et si certains chapitres ont des liens évidents et s’enchaînent naturellement, d’autres, plus isolés, ont été réunis sous forme d’annexes pour préserver au mieux l’unité, mais leur importance n’est pas secondaire. L’organisation de cet ouvrage vise à une présentation suffisamment concise et assimilable des algorithmes numériques fondamentaux, développés jusqu’à leur mise en œuvre, de telle sorte qu’ils soient susceptibles d’aider l’étudiant, le chercheur et l’ingénieur dans l’exercice quotidien de leur art : il s’agit de pouvoir obtenir des résultats numériques convenables chaque fois qu’une méthode analytique fait défaut. Pour ce qui concerne certains théorèmes très importants, nous nous sommes parfois borné à les énoncer sans les démontrer, le contraire eut risqué de nous éloigner de notre préoccupa- tion majeure : le résultat numérique ; cependant, les indications bibliographiques permettent d’obtenir aisément ces démonstrations qui sont classiques. Les objectifs poursuivis se situent sur deux plans que l’on a coutume de séparer mais qui sont indissociables de notre point de vue : l’acquisition d’algorithmes numériques indispensable à la résolution de problèmes usuels et la maîtrise du traitement des données expérimentales selon la méthode statistique. Traiter les données de l’expérience impose l’usage de techniques numériques appropriées, et l’examen des résultats entachés d’erreur et d’incertitude impose l’usage de la statistique. La propagation des erreurs à travers les algorithmes relève d’une analyse subtile qui est éternellement omise tant elle est délicate. Nous avons tenté de l’effleurer et c’est une des raisons qui nous a poussé à développer l’étude des lois de distribution ainsi que leurs fondements dans une partie qui est davantage dévolue aux statistiques. De même qu’il est impensable de vouloir apprendre à jouer du piano la veille de donner un concert, de même il est impensable de vouloir apprendre l’algorithmique numérique le jour où le besoin s’impose. Dans les deux cas, il convient de recourir aux gammes afin d’acquérir une solide expérience. En calcul numérique il n’y a pas de voie royale, et aucun algorithme n’est capable de fournir de résultats corrects quelles que soient les données fournies. Il est toujours possible de mettre en défaut une procédure et d’obtenir des résultats abérrants pourvu que l’on s’en donne la peine... Un très bel exemple est étudié à l’occasion de la résolution des systèmes linéaires dépendant d’une matrice de Hilbert. L’expérience pratique prend alors toute sa valeur, et c’est ainsi que notre enseignement comporte une séance hebdomadaire de trois heures sur calculateur arithmétique. Peu importe 3 MANUEL DE CALCUL NUMÉRIQUE APPLIQUÉ le langage et la manière, seul le «résultat correct 8 compte et ce n’est pas une mince affaire que de se faire une opinion sur les erreurs qui entachent les résultats finals. Ensuite viendront éventuellement se greffer les problèmes d’élégance et d’optimisation. En aucun cas, cet enseignement n’a pour but d’explorer et de recenser tous les algorithmes ayant trait à un type de problèmes. Nous avons voulu présenter ceux qui se sont montrés paradigmatiques soit sous l’angle de la simplicité soit sous l’angle de l’efficacité. Il s’agit de construire des programmes que nous aurons soigneusement testés, dont nous connaîtrons les limites et qui rempliront peu à peu notre boîte à outils. Pour simplifier, nous dirons que ce livre peut se subdiviser en trois parties à savoir : 1. Études d’algorithmes numériques et leur mise en oeuvre. 2. Analyse statistique des résultats d’expériences. 3. Annexes, problèmes et corrigés. Nous l’avons déjà dit, les deux premières parties interfèrent partiellement, et c’est une des raisons pour laquelle nous avons renoncé à présenter un ouvrage où tout ce qui est étudié dans un chapitre s’appuie nécessairement sur ce qui a été établi précédemment. Par souci d’unité nous avons préféré regrouper les titres par centre d’intérêt. Ainsi, il nous est apparu plus intéressant d’avoir rassemblé l’étude des polynômes orthogonaux plutôt que d’avoir dispersé l’information dans différents chapitres concernant l’interpolation et l’intégration numérique. Il aurait été dommage de ne pas avoir abordé, ne serait-ce que rapidement, les méthodes de Monte-Carlo d’une part, et les problèmes mal posés d’autre part. Ces domaines illustrent bien la synthèse des deux premières parties, d’autant plus qu’ils s’intègrent remarquablement dans les préoccupations des chercheurs et des ingénieurs. Qui, en physique, n’a pas eu à résoudre numériquement une équation de convolution? Qui n’a pas tenté la résolution d’un problème au moyen d’une simulation? Pour terminer nous proposons un avant-dernier chapitre constitué d’un ensemble de problèmes et d’exercices qui illustrent quelques usages des méthodes qui ont été présentées; ils servent également à éclairer quelques points de théorie qui seraient venus alourdir le cours s’ils avaient été intégrés dans les divers chapitres : on montre par exemple que le coefficient de conformité de Pearson obéit bien à une loi du x2. Le dernier chapitre donne les solutions des problèmes présentés. La plupart des chapitres font l’objet d’une illustration et se terminent par des programmes écrits dans le langage C : il s’agit du langage de base qui assure la portabilité. Ce point de vue s’explique par la facilité qu’il y a à changer de langage : Fortran, Pascal, etc., sans avoir grand chose à modifier dans le programme source. On n’est pas obligé de partager ces vues, mais il est très facile de modifier les programmes proposés pour qu’ils apparaissent moins « archaïques ». Pour en finir avec les algorithmes choisis et les programmes présentés, nous dirons qu’ils sont fournis sans garantie d’aucune sorte malgré le grand soin porté à ce travail. Ils peuvent comporter des imprécisions voire des imperfections, à ceci s’ajoute le fait qu’aucun algorithme n’est irréprochable dans la mesure où il est toujours possible de trouver des valeurs numériques qui le mette en défaut. Bien sûr, nous formons le vœu que cet ouvrage puisse apporter une aide solide aux étudiants, ingénieurs et chercheurs pour lesquels il constituera un outil dont le rôle favorise la réalisation de sa propre boîte à outils. La rédaction d’un ouvrage ne se réalise jamais dans l’isolement, et il m’a fallu bien des oreilles attentives, bien des lecteurs vigilants, bien des conseillers éclairés. L’instant est venu de remercier tous ceux qui, à quelque titre que ce soit, m’ont apporté une aide inconditionnelle, je citerai par ordre alphabétique : Claude Bardos, Jean Bornarel, Jacques Gacougnolle, Patricia Guilpin, AVANT-PROPOS Michel Jacques, Claude Marti, Yvan Simon ainsi que l’équipe de physique théorique de Chaouqui Misbah. Pour terminer, j’ajouterai une mention particulière à EDP Sciences qui m’a offert un contexte de travail optimum afin d’obtenir la meilleure réalisation possible. Christian GUILPIN PROGRAMMES SOURCES ACCOMPAGNANT CE MANUEL Les programmes sources cités dans ce livre sont disponibles sur le site Web d’EDP Sciences (adresse : http://www. edpsciences . com/guilpin/). Chapitre 2 rutisacc. c sn-x. txt dfftinv.h Chapitre 26 aitken-0.c dani1ev.c un-x. txt tf-image.c regres.c epsilon-0.c dsys1in.h vn-x.txt inv-imag.c richard.h Annexe A richar-0.c Chapitre 6 Chapitre 12 Chapitre 17 sturm.c epsilon-1.c 1agpoly.c argent.c fredh-1.c epsilon-2.c ascend.c cotes-l. c gaussien.h epsilon-3.c dconvo1.c Annexe F descend.c cotes-2.c epsilon-4.c 1ispline.c dconvo1.h bessel1n.c aitken-2.c sp1ine.h Chapitre 13 intm0nte.h bessel1f.c kacmarz1.c sudeter . c xa1eamen.h bessel2n.c fredho1m.c epsi1on.h multma. h bessel2f.c combina. h newton-1.c transpos . h retr0gra.c Chapitre 18 besse1jf.h dsys1in.h calcu1pi.c besse1jn.h Chapitre 4 runge . c invers.h matmont e . c besse12f.h dichot0.c pendu1e.c moulton. c intm0nte.c itera.c Chapitre 7 recuit .c Annexe 1 bashf0rt.c newton1d.c 1egendre.c tayl0r.c dzeta0.c newt0npp.c decom1eg.c Chapitre 20 dzeta1.c kacmarz . c newton2d.c r-1egend.c Chapitre 14 gauss1eg.h grosys1.c getneme . h t r i o d e . c jacobi0.c bairst0w.c Chapitre 22 bairst0w.h chaleur.~ jacobi1.c Chapitre 9 khi2.h corde.~ pendule0.c racine.h student.h 1aguerre.c predcor0.c souriau0.c Chapitre 5 r-1aguer.c Chapitre 15 Chapitre 24 sudeter. c syst1in.c echanti1.c Chapitre 10 hist0gra.c sys1init.c triangle. c gibbs.c ko1mogor.c tangent2.c trian1in.c hermite . c dirac.c gradc0nj.c hi1bert.c r-hermit.c fi1tre.c Chapitre 25 refrig1.c trianinv.c teststat . c mathieu9.c 1everier.c Chapitre 11 Chapitre 16 varian-1.c vanderp0.c givens.c rn-x.txt dfftO.h varian-2.c card0.c Sommaire AVANT-PROPOS 3 1. GÉNÉRALITÉS SUR LE CALCUL NUMÉRIQUE 17 1. La notion d’algorithme en calcul numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Le calcul numérique ne concerne que les nombres entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . uploads/Litterature/ calcul-numerique-applique-maths-algorithme-edition-edp-sciences 1 .pdf