SESSION 2000 TSI005 CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES ´ EPREUVE SP´ ECIFIQUE-FILI

SESSION 2000 TSI005 CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES ´ EPREUVE SP´ ECIFIQUE-FILI` ERE TSI MATH´ EMATIQUES 1 Dur´ ee : 4 heures L’usage des calculatrices programmables et alphanum´ eriques est autoris´ e sous r´ eserve des dispositions d´ efinies dans la circulaire n˚ 99-018 du 01.02.99. Il est rappel´ e aux candidats qu’il sera tenu compte de la pr´ esentation et de la r´ edaction des copies. On pourra admettre un r´ esultat pour traiter les questions suivantes. Dans tout ce devoir les matrices seront des matrices carr´ ees 3×3, ou des matrices colonnes 3×1, ` a coefficients dans C. On pourra identifier matrice carr´ ee avec application lin´ eaire dans une base canonique, et matrice colonne avec vecteur. Rappels et D´ efinitions • λn, avec λ complexe et n entier naturel, admet une limite lorsque n tend vers l’infini si et seulement si λ = 1 ou |λ| < 1. • On note Sp (A) le spectre de A, c’est-` a-dire l’ensemble des valeurs propres de A. • On dit que la matrice carr´ ee T de terme g´ en´ eral ti,j est triangulaire sup´ erieure si et seulement si : ∀i > j, ti,j = 0. • On dit que la matrice carr´ ee N est nilpotente si et seulement si ∃n ∈N∗tel que Nn = 0 (0 est la matrice nulle et Nn est le produit de N par elle-mˆ eme n fois, par convention N1 = N et N0 = I la matrice unit´ e). • Soit A une matrice de dimension quelconque, de terme g´ en´ eral ai,j. On pose ∥A∥= sup i,j |ai,j|. On admet que l’application A 7→∥A∥est une norme sur l’espace des matrices ayant mˆ eme dimension que A. • On appelle suite de matrices complexes une application de D ⊂N dans Mn,p(C) ; l’image de k est not´ ee Ak ou A(k), l’´ el´ ement g´ en´ eral de A(k) est not´ e ai,j(k). On dit que la suite A(k) converge vers B (ou admet B pour limite) si et seulement si lim k→+∞∥A(k) −B∥= 0, et on note lim k→+∞A(k) = N ou lim A(k) = B. • ` A toute suite A(k) de matrices, on associe la suite dite « des sommes partielles » U(k) = k P i=0 A(i). Si cette nouvelle suite converge, on note lim k→+∞U(k) = +∞ P i=0 A(i) que l’on appelle somme de la s´ erie de terme g´ en´ eral A(k). • On note, si cette limite existe, exp (A) = +∞ P i=0 Ai i! . Le but de ce probl` eme est, pour quelques matrices A, de calculer, lorsque c’est possible, +∞ P i=0 Ai et exp (A) = +∞ P i=0 Ai i! . PARTIE I Dans cette partie vous d´ emontrerez des propri´ et´ es g´ en´ erales sur des limites, des suites et des s´ eries de matrices. Les matrices sont, sauf indication du contraire, dans M3(C). 1 1. Le terme g´ en´ eral de A(k) est ai,j(k) et celui de B est bi,j. a. Montrer que A(k) converge vers B si et seulement si ∀i, j lim k→+∞ai,j(k) = bi,j. A-t-on le mˆ eme type de propri´ et´ e pour les matrices colonnes ? b. Montrer que A(k) converge vers B si et seulement si pour toute matrice colonne 3 × 1 not´ ee X, A(k)X converge vers BX. c. Montrer que A(k) converge vers B si et seulement si pour toute matrice 3 × 3 not´ ee C inversible, A(k)C converge vers BC. d. Montrer que si lim k→+∞A(k) = B et lim k→+∞C(k) = D, alors lim k→+∞(A(k) + C(k)) = B + D. 2. a. Montrer que ∥AB∥⩽3 ∥A∥∥B∥. En d´ eduire que Ak ⩽3k−1 ∥A∥k pour k ∈N∗. b. Montrer que, si A est inversible, on a pour tout k ∈N∗, Ak 1/k ⩾ 1 3 ∥A−1∥. En d´ eduire que si lim k→+∞ Ak 1/k = 0 alors A n’est pas inversible. 3. a. Simplifier l’expression (I −A)  k P i=0 Ai  o` u I d´ esigne la matrice unit´ e de M3(C). b. Montrer que si lim k→+∞Ak = 0, alors pour toute matrice colonne 3×1 not´ ee X, on a lim k→+∞AkX = 0. En d´ eduire que A −I est inversible et exprimer son inverse comme somme d’une s´ erie. En d´ eduire l’existence de +∞ P i=0 Ai. 4. Montrer que lim k→+∞A(k) = B si et seulement si lim k→+∞P −1A(k)P = P −1BP avec P une matrice inversible. En d´ eduire que lim k→+∞Ak = B si et seulement si lim k→+∞ P −1AP k = P −1BP, avec P une matrice inversible. 5. Soit A telle que lim k→+∞Ak = B. a. Si B est inversible, montrer que A est ´ egale ` a I. b. Montrer que les valeurs propres de A valent 1 ou ont un module strictement inf´ erieur ` a 1. c. On suppose que A est diagonalisable et que A ̸= I. Montrer que si 1 / ∈Sp (A) alors B est nulle, et que si 1 ∈Sp (A) alors B est diagonalisable avec Sp (B) ⊂{0, 1}. 6. Soit A quelconque. Montrer que si A = PBP −1 et si exp (B) existe, alors exp (A) existe et exp (A) = P exp (B)P −1. PARTIE II Dans cette partie nous nous int´ eressons plus particuli` erement aux matrices triangulaires sup´ erieures ou diagonales. On pose D =   a 0 0 0 b 0 0 0 c  , M =   a 0 0 0 b 1 0 0 b  et Q =   a 1 0 0 a 1 0 0 a  avec a, b et c complexes. Remarque : a, b et c ne sont pas forc´ ement diff´ erents. 1. a. Calculez M2, M3, Q2 et Q3. b. D´ eterminer la forme g´ en´ erale de Dk, Mk et Qk avec k ∈N∗. 2. a. D´ eterminer les a, les b et les c pour que Dk, Mk et Qk convergent. Calculer dans ce cas lim k→+∞Dk, lim k→+∞Mk et lim k→+∞Qk. b. Si on suppose que lim k→+∞Dk = 0, calculer +∞ P i=0 Di. 2 c. Si on suppose que lim k→+∞Mk = 0, calculer +∞ P i=0 Mi. d. Si on suppose que lim k→+∞Qk = 0, calculer +∞ P i=0 Qi. 3. Montrer que exp (D), exp (M) et exp (Q) existent et d´ eterminer leur valeur. PARTIE III Dans cette partie nous nous int´ eressons plus particuli` erement aux matrices nilpotentes. Dans toute cette partie, sauf indication du contraire, on consid` ere N une matrice carr´ ee 3×3 nilpotente non nulle ` a coefficients dans C. 1. a. Montrer que les quatre affirmations suivantes sont ´ equivalentes : (i) N est nilpotente (ii) Sp (N) = {0} (iii) N est semblable ` a une matrice triangulaire sup´ erieure de diagonale nulle (iiii) N3 = 0. Application : En d´ eduire que l’´ equation A2 =   0 1 0 0 0 1 0 0 0  , d’inconnue A une matrice carr´ ee 3 × 3 n’admet pas de solution. b. Montrer que det (I −N) = 1. En d´ eduire que I −N est inversible. Que vaut l’inverse de I −N ? Quelles sont les valeurs propres de I −N ? En d´ eduire que I −N n’est pas diagonalisable. c. Montrer que si N2 ̸= 0 et N nilpotente alors il existe X ∈C3 telle que X, NX, N 2X  est une base de C3. En d´ eduire que : A commute avec N ⇔A combinaison lin´ eaire de I, N, et N2. En d´ eduire que si A commute avec N alors det (A −N) = det (A). A-t-on encore det (A −N) = det (A) si A ne commute pas avec N ? 2. Soient N1 et N2 deux matrices nilpotentes telles que N1N2 = N2N1. a. Montrer que N1N2 et que N1 + N2 sont nilpotentes. b. En d´ eveloppant (N1 + N2)3 et (N1 + N2)4, montrer que N1N2 2 + N2 1 N2 = 0 et que N2 1 N2 2 = 0. c. Montrer que exp (N1 + N2) = exp (N1) exp (N2). d. En d´ eduire que si N est nilpotente alors exp (N) est inversible ; vous donnerez l’inverse de exp (N). 3. Application : Dans cette question (et dans cette question seulement) on consid` ere N =   1 1 1 −1 −1 −1 1 1 0  . a. Montrer que N est nilpotente. b. Calculer +∞ P i=0 Ni. En d´ eduire l’inverse de I −N. c. Calculer exp (N) et exp (−N). PARTIE IV Dans cette partie nous calculerons l’exponentielle d’une matrice dans deux cas particuliers. 1. On consid` ere R =   2 −1 2 −1 2 2 2 2 −1  et D =   3 0 0 0 3 0 uploads/Litterature/ ccp-maths-2000-2011-ccp-tsi-pdf.pdf

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