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Chapitre 0 Eléments d’analyse vectorielle 1. Champ scalaire - Champ vectoriel S

Chapitre 0 Eléments d’analyse vectorielle 1. Champ scalaire - Champ vectoriel Soit un trièdre orthonormé et M un point de l’espace, de coordonnées (x,y,z) : La fonction f(M) est dite fonction scalaire de point M ou champ scalaire si : Le vecteur ⃗ v( M) est dit fonction vectorielle du point M ou champ vectoriel si : 2. Gradient d’un champ scalaire Le gradient (noté⃗ grad) est défini à partir d’une fonction scalaire de point et a pour composante suivant les dérivées partielles de f(M) par rapport à x, y et z respectivement : 3. Divergence d’un champ vectoriel La divergence (noté div) n’est définie qu’à partir d’une fonction vectorielle ⃗ v(M) de point et donne une fonction scalaire de point définie, en coordonnées cartésiennes par : 4. Rotationnel d’un champ vectoriel Le rotationnel noté (⃗ rot) d’un champ vectoriel donne une fonction vectorielle de point définie en coordonnées cartésienne par : 5. Laplacien scalaire Le Laplacien scalaire d’une fonction scalaire de point (noté lap ou est par définition un champ scalaire défini par : Dans un système de coordonnées cartésiennes, il s’écrit : 6. Laplacien vectoriel Le Laplacien vectoriel (noté ⃗ Lap ou ⃗ Δ) d’un champ vectoriel ⃗ v est un champ vectoriel défini par : Dans un système de coordonnées cartésienne, le laplacien vectoriel a pour composantes : 7. Opérateur nabla Pour écrire de manière plus compacte les opérateurs vectoriels précédemment définis, on introduit un vecteur symbolique appelé opérateur nabla défini par: Les opérateurs vectoriels s’écrivent parfois à l’aide de l’opérateur nabla sous les formes respectives suivantes : – le gradient d’un champ scalaire f est noté – la divergence d’un champ vectoriel est notée – le rotationnel d’un champ vectoriel est noté – le laplacien scalaire d’un champ scalaire est noté : se lit ”del de”. – le laplacien vectoriel d’un champ vectoriel est noté 8. Théorème de Stokes-Théorème de Gauss 8.1 Circulation d’un champ vectoriel On définit la circulation d’un vecteur ⃗ v le long d’un contour (C), par l’intégrale curviligne : La circulation le long d’un contour fermé est notée par : 8.2 Flux d’un champ vectoriel On définit le flux d’un vecteur ⃗ v à travers une surface (S) par l’intégrale double : Lorsque la surface (S) est fermée, le vecteur unitaire ⃗ n est dirigé de l’intérieur vers l’extérieur. 8.3 Théorème de Stockes La circulation d’un vecteur le long d’un contour fermé (C) limitant une surface (S) est égal au flux de son rotationnel à travers cette surface : 8.4 Théorème de Gauss- Ostrogradski (ou théorème de la divergence) Le flux d’un champ vectoriel à travers une surface fermée (S) est égal à l’intégral de sa divergence dans le volume ( limité par la surface fermée (S) Aide mémoire du formalisme mathématique : ¿ (⃗ A Λ⃗ B)=⃗ B⃗ rot ⃗ A – ⃗ A⃗ rot ⃗ B ⃗ rot (f ⃗ A )=f⃗ rot ⃗ A−⃗ A Λ⃗ grad(f ) ⃗ grad (f . g)=g⃗ grad (f )+f⃗ grad (g ) ¿( ⃗ P r )=1 r ÷⃗ P+⃗ P⃗ grad( 1 r ) ¿(⃗ A f )=f ÷(⃗ A )+⃗ A⃗ grad(f ) uploads/Litterature/ chapitre-0-analyse-vectoriel.pdf