Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Outils mathématiques Louis Blonce 4 septembre 2019 Université Le Havre Normandi

Outils mathématiques Louis Blonce 4 septembre 2019 Université Le Havre Normandie - ISEL Table des matières 1. Calculs vectoriels classiques 2. Champ de vecteurs 3. Torseurs 1 Calculs vectoriels classiques Notations Dans toute la suite du cours nous utiliserons et nous nous référerons constamment à • un repère orthonormé direct, dit repère absolu 2 Notations Dans toute la suite du cours nous utiliserons et nous nous référerons constamment à • un repère orthonormé direct, dit repère absolu • ce repère est constitué d’un point origine noté O 2 Notations Dans toute la suite du cours nous utiliserons et nous nous référerons constamment à • un repère orthonormé direct, dit repère absolu • ce repère est constitué d’un point origine noté O • et de trois vecteurs orthonormés, notés par exemple 2 Notations Dans toute la suite du cours nous utiliserons et nous nous référerons constamment à • un repère orthonormé direct, dit repère absolu • ce repère est constitué d’un point origine noté O • et de trois vecteurs orthonormés, notés par exemple • R0 = (O,⃗ i,⃗ j,⃗ k) ou 2 Notations Dans toute la suite du cours nous utiliserons et nous nous référerons constamment à • un repère orthonormé direct, dit repère absolu • ce repère est constitué d’un point origine noté O • et de trois vecteurs orthonormés, notés par exemple • R0 = (O,⃗ i,⃗ j,⃗ k) ou • R0 = (O,⃗ e1,⃗ e2,⃗ e3) ou 2 Notations Dans toute la suite du cours nous utiliserons et nous nous référerons constamment à • un repère orthonormé direct, dit repère absolu • ce repère est constitué d’un point origine noté O • et de trois vecteurs orthonormés, notés par exemple • R0 = (O,⃗ i,⃗ j,⃗ k) ou • R0 = (O,⃗ e1,⃗ e2,⃗ e3) ou • R0 = (O,⃗ x0,⃗ y0,⃗ z0) 2 Vecteurs orthonormés 3 Vecteurs orthonormés • la norme de chacun des vecteurs de base vaut 1 3 Vecteurs orthonormés • la norme de chacun des vecteurs de base vaut 1 • les trois vecteurs de base sont perpendiculaires deux à deux entre eux 3 Vecteurs orthonormés • la norme de chacun des vecteurs de base vaut 1 • les trois vecteurs de base sont perpendiculaires deux à deux entre eux 3 Vecteurs orthonormés • la norme de chacun des vecteurs de base vaut 1 • les trois vecteurs de base sont perpendiculaires deux à deux entre eux Dans ce repère dire que le vecteur ⃗ u a pour composantes (u1, u2, u3) signiﬁe que : 3 Vecteurs orthonormés • la norme de chacun des vecteurs de base vaut 1 • les trois vecteurs de base sont perpendiculaires deux à deux entre eux Dans ce repère dire que le vecteur ⃗ u a pour composantes (u1, u2, u3) signiﬁe que : ⃗ u = u1⃗ i + u2⃗ j + u3⃗ k 3 Produit scalaire 4 (i, j, E) base Fri E IR 3,] un. Mz, U, E IR 1F = Mr P + M2 J t Mz R (u 1 1 M2 I Mz) sont les composantes du vecteur à dans la base (î, J, K) Produit scalaire Le produit scalaire de deux vecteurs est une opération notée "." qui transforme les deux vecteurs en un scalaire. 4 Produit scalaire Le produit scalaire de deux vecteurs est une opération notée "." qui transforme les deux vecteurs en un scalaire. Déﬁnition Si on note ⃗ u = u1⃗ i + u2⃗ j + u3⃗ k 4 Produit scalaire Le produit scalaire de deux vecteurs est une opération notée "." qui transforme les deux vecteurs en un scalaire. Déﬁnition Si on note ⃗ u = u1⃗ i + u2⃗ j + u3⃗ k ⃗ v = v1⃗ i + v2⃗ j + v3⃗ k on aura : 4 Produit scalaire Le produit scalaire de deux vecteurs est une opération notée "." qui transforme les deux vecteurs en un scalaire. Déﬁnition Si on note ⃗ u = u1⃗ i + u2⃗ j + u3⃗ k ⃗ v = v1⃗ i + v2⃗ j + v3⃗ k on aura : ⃗ u.⃗ v = ||⃗ u|| ||⃗ v|| cos(⃗ u,⃗ v) 4 Propriétés du produit scalaire • C’est une grandeur intrinsèque, c’est-à-dire qui ne dépend pas de la base 5 Propriétés du produit scalaire • C’est une grandeur intrinsèque, c’est-à-dire qui ne dépend pas de la base • Le produit scalaire est symétrique : ⃗ u.⃗ v = ⃗ v.⃗ u 5 Propriétés du produit scalaire • C’est une grandeur intrinsèque, c’est-à-dire qui ne dépend pas de la base • Le produit scalaire est symétrique : ⃗ u.⃗ v = ⃗ v.⃗ u • Lorsque les coordonnées des vecteurs sont exprimées dans une même base cartésienne, on a : ⃗ u.⃗ v = u1v1 + u2v2 + u3v3 5 Produit vectoriel 6 Produit vectoriel Le produit vectoriel est une opération entre deux vecteurs qui permet de fabriquer un troisième vecteur. On note cette opération ’∧’. 6 Produit vectoriel Le produit vectoriel est une opération entre deux vecteurs qui permet de fabriquer un troisième vecteur. On note cette opération ’∧’. Notons ⃗ u et ⃗ v deux vecteurs quelconques et ⃗ w le vecteur résultant du produit vectoriel de ces deux vecteurs. On écrit : 6 Produit vectoriel Le produit vectoriel est une opération entre deux vecteurs qui permet de fabriquer un troisième vecteur. On note cette opération ’∧’. Notons ⃗ u et ⃗ v deux vecteurs quelconques et ⃗ w le vecteur résultant du produit vectoriel de ces deux vecteurs. On écrit : ⃗ w = ⃗ u ∧⃗ v 6 direction de W : B I I et NIP sens de lit est tel que (û, E, û) est un trièdre direct Â ↳ Produit vectoriel Le produit vectoriel est une opération entre deux vecteurs qui permet de fabriquer un troisième vecteur. On note cette opération ’∧’. Notons ⃗ u et ⃗ v deux vecteurs quelconques et ⃗ w le vecteur résultant du produit vectoriel de ces deux vecteurs. On écrit : ⃗ w = ⃗ u ∧⃗ v Les caractéristiques de ⃗ w sont : 6 Produit vectoriel Le produit vectoriel est une opération entre deux vecteurs qui permet de fabriquer un troisième vecteur. On note cette opération ’∧’. Notons ⃗ u et ⃗ v deux vecteurs quelconques et ⃗ w le vecteur résultant du produit vectoriel de ces deux vecteurs. On écrit : ⃗ w = ⃗ u ∧⃗ v Les caractéristiques de ⃗ w sont : • Sa norme : ||⃗ w|| = ||⃗ u|| ||⃗ v|| | sin(⃗ u,⃗ v)| 6 Produit vectoriel Le produit vectoriel est une opération entre deux vecteurs qui permet de fabriquer un troisième vecteur. On note cette opération ’∧’. Notons ⃗ u et ⃗ v deux vecteurs quelconques et ⃗ w le vecteur résultant du produit vectoriel de ces deux vecteurs. On écrit : ⃗ w = ⃗ u ∧⃗ v Les caractéristiques de ⃗ w sont : • Sa norme : ||⃗ w|| = ||⃗ u|| ||⃗ v|| | sin(⃗ u,⃗ v)| • Sa direction, ⃗ w est porté par la droite perpendiculaire au plan formé par les vecteurs ⃗ u et ⃗ v 6 Produit vectoriel Le produit vectoriel est une opération entre deux vecteurs qui permet de fabriquer un troisième vecteur. On note cette opération ’∧’. Notons ⃗ u et ⃗ v deux vecteurs quelconques et ⃗ w le vecteur résultant du produit vectoriel de ces deux vecteurs. On écrit : ⃗ w = ⃗ u ∧⃗ v Les caractéristiques de ⃗ w sont : • Sa norme : ||⃗ w|| = ||⃗ u|| ||⃗ v|| | sin(⃗ u,⃗ v)| • Sa direction, ⃗ w est porté par la droite perpendiculaire au plan formé par les vecteurs ⃗ u et ⃗ v • Son sens est tel que (⃗ u,⃗ v, ⃗ w) forme un trièdre direct. 6 Produit vectoriel Remarquons également que : ⃗ w = 0 7 Produit vectoriel Remarquons également que : ⃗ w = 0 ⇐ ⇒      ⃗ u = 0 7 Produit vectoriel Remarquons également que : ⃗ w = 0 ⇐ ⇒      ⃗ u = 0 ⃗ v = 0 7 Produit vectoriel Remarquons également que : ⃗ w = 0 ⇐ ⇒      ⃗ u = 0 ⃗ v = 0 ⃗ u parallèle à ⃗ v (1) 7 ME = → → Propriétés du produit vectoriel • Il est antisymétrique : ⃗ u ∧⃗ v = −⃗ v ∧⃗ u 8 Propriétés du produit vectoriel • Il est antisymétrique : ⃗ u ∧⃗ v = −⃗ v ∧⃗ u • λ⃗ u ∧µ⃗ v = λµ(⃗ u ∧⃗ v) 8 Propriétés du produit vectoriel • Il est antisymétrique : ⃗ u ∧⃗ v = −⃗ v ∧⃗ u • λ⃗ u ∧µ⃗ v = λµ(⃗ u ∧⃗ v) • ⃗ u ∧(⃗ v1 + ⃗ v2 + ... + ⃗ vn) = uploads/Litterature/ meca-solide-projection-chapitre1.pdf