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Chapitre 1 : Cinématique L’objet de la cinématique permet une description quali

Chapitre 1 : Cinématique L’objet de la cinématique permet une description qualitative et quantitative de l'écoulement en termes de trajectoires, vitesses et évolutions spatio-temporelles contrairement à la dynamique des fluides qui étudie les forces mises en jeu au sein d'un écoulement. Nous verrons dans ce chapitre que la formulation mathématique nécessite des fonctions complexes pour modéliser des écoulements types (à deux dimensions), ce qui facilite la compréhension des comportements d'écoulements réels. La description d'un écoulement passe nécessairement par l'utilisation d'un certain nombre de grandeurs caractéristiques. 1-1. La particule fluide C’est une quantité élémentaire de matière sur la base de laquelle se fera la description de l’écoulement. Il s'agit d'un « groupe de molécules » entourant un point M donné de l'espace fluide qui possèdent les mêmes grandeurs physiques et dynamiques, entre autres la vitesse. En écoulement, le mouvement des particules doit être décrit selon un référentiel pour pouvoir être étudié, dans ce sens, il existe deux descriptions différentes du mouvement : 1-2. La Description d'Euler ou description Eulérienne C'est une description de l'écoulement qui consiste à établir à un instant t donné l'ensemble des vitesses de chacun des points de l'espace fluide. Ainsi, à chaque point M est associée une vitesse ⃗ V M(t) susceptible d'évoluer dans le temps. L'écoulement du fluide est alors décrit au moyen d'un ensemble de vecteurs vitesse appelé « champ de vitesse ». C'est donc une sorte d’image instantanée de l'écoulement. Sur la base de ce champ de vecteurs vitesse, on définit la « ligne de courant » qui est la courbe rassemblant les points et tangente au vecteur vitesse en chacun des points (figure 1). Au même titre que le champ de vecteurs vitesse, il s'agit d'une représentation au sein l'espace fluide susceptible d'évoluer dans le temps ; Figure 1 : ligne de courant 1-3. La Description de Lagrange ou description Lagrangienne Il s'agit de suivre dans l'espace fluide la position d'une particule choisie en fonction du temps. Il en découle la définition de la « trajectoire » d'une particule fluide : c'est l'ensemble des positions occupées successivement par une même particule durant le temps t (figure 2). Figure 2. Trajectoire d’une particule Il ne faut pas confondre ligne de courant et trajectoire. Ce sont deux notions différentes. En effet, si initialement (à t = t0) une particule occupe un point M0, elle se dirigera dans la direction donnée par la ligne de courant passant par M0 à t0, mais à t1  t0 cette même particule se trouvera en un point t1 appartenant à une autre ligne de courant définie différemment de celle définie à t0 . Les deux courbes divergent donc dès que t est  t0. Remarque : Les deux descriptions sont complémentaires et permettent souvent de se combiner pour résoudre un écoulement grâce aux deux approches. On peut comparer la description d'Euler à un « arrêt sur image » d'une vidéo sur un espace bien défini, et d'associer la description de Lagrange à une vidéo qui suit le mouvement de quelqu’un ou quelque chose. 1-4. Lignes d'émission Toutes les particules qui sont passées par un même point E sont situées à l'instant t sur une courbe appelée « ligne d'émission » relative au point E à l’instant t. La figure 3 illustre cette courbe. C’est courbe souvent expérimentale : par exemple injecter une source colorante au sein d'un écoulement de fluide, le filet coloré produit correspond à une ligne d'émission. Figure 3. Lignes d’émission 1-5. Écoulement permanent Un écoulement est qualifié de permanent (ou stationnaire) lorsque le champ de vecteurs vitesse de l'espace fluide est statique c’est à dire les vecteurs vitesse n'évoluent pas et ne varient pas dans le temps. Les conséquences sont multiples :  les lignes de courant sont aussi statiques  les trajectoires coïncident avec les lignes de courant Tout ce qui concerne le fluide est indépendant du paramètre temporel, il ne reste plus que la dépendance dans l’espace : ⃗ V ≠⃗ V (t ),donc ⃗ V=⃗ V (x , y, z). Remarque : Un écoulement non stationnaire est très complexe à étudier d’une manière analytique directe. donc à votre niveau on s’intéressera aux écoulements permanents. 1-6. INTRODUCTION AUX BILANS DIFFERENTIELS Prenons une quantité physique G entre deux instants très proches t1 et t2, son bilan s’écrit : G (t + dt) – G(t) = dG(t) = e (t) dt - s (t) dt Donc, la variation de G (t) représente l’accumulation ou la différence entre production et destruction de la grandeur G (t) pendant la durée dt , d’une part et égale à la différence des flux entrant et sortant du système e (t) - s (t) d’autre part . cette variation est dû au phénomène de transport : Transport diffusif et convectif Un volume de fluide peut se vider ou se remplir à travers ses frontières d’une grandeur G, ex : masse, quantité de mouvement, énergie, … Lorsque les grandeurs physiques, ou chimiques de la matière traversent les frontières du volume de fluide, on parle de transport, il en existe deux types : transport diffusif et transport convectif. - le transport diffusif : intervient lorsque la matière subit à l’échelle microscopique un déséquilibre d’une grandeur et le système tentant de revenir à l’équilibre. exemple , diffusion de la chaleur dans un corps exprime à échelle microscopique, le transfert de chaleur d’un point plus chaud vers un point plus froid sans qu’il y ait un mouvement global. - le transport convectif : est le transport des quantités et grandeurs grâce au mouvement même du fluide à échelle macroscopique, c’est un transport plus rapide que le transport diffusif. exemple, remuer une boisson chaude, remuer deux peintures pour les mélanger (on devra attendre longtemps si on se limite à la diffusion !) Equation différentielle de conservation de la masse / équation de continuité : L’equation de conservation de la masse, exprime le transport de la quantité du fluide. Soit un volume élémentaire de fluide dv = dx.dy.dz , dans un référentiel (o, x, y, z) En appliquant le principe du transport pour la quantité de matière, on obtient le bilan de transport suivant ( figure 4): Accumulation de matière dans le volume dv pendant le temps dt = flux massique entrant – flux massique sortant Dans la direction Y, on obtient : le flux massique entrant est égal au débit massique à travers la face 1, le flux massique sortant est le débit massique traversant la face 2. Z X Y 1 2 le débit entrant face 1 : Vydxdz le débit sortant de la face 2 : Vydxdz + /y (Vydxdz) dy le débit entrant face 3 : Vxdydz le débit sortant de la face 5 : Vxdydz + /x (Vxdydz) dx le débit entrant face 4 : Vzdxdy le débit sortant de la face 6 : Vzdxdy + /z (Vzdxdy) dz Le taux d’accumulation de la masse pendant dt est : 1/dt (dm + /t(dm) dt-dm) = /t(dm) = /t(dxdydz) Donc le bilan s’écrit finalement : L’accumulation de la masse dans le volume durant dt = somme de tous les débits massiques à travers les 6 faces du volume /t(dm) = /t(dxdydz) = [V1dxdz + V2dydz + V3dxdy] – [V1dxdz + /y (V1dxdz) dy + V2dydz + /x (V2dydz) dx + V3dxdy + /z (V3dxdy) dz] ce qui revient à écrire en divisant par le volume de l’élément du fluide dv: ∂ρ ∂t + ∂(ρu) ∂x + ∂( ρv) ∂y + ∂( ρw) ∂z =0 Figure 4. élément de fluide dv  forme compacte de l’équation: ∂ρ ∂t +¿ (ρ⃗ V )=∂ρ ∂t +⃗ ∇. (ρ⃗ V )=0  forme tensorielle : ∂ρ ∂t + ∂(ρui) ∂xi =0 pour un écoulement permanent  est indépendante du temps, donc : ∂ρ ∂t =0 pour un fluide incompressible  est constante : ∂(u) ∂x + ∂(v) ∂y + ∂(w) ∂z =⃗ ∇. (⃗ V )=0 1-7. Champ de vitesse d’un fluide Au cours du mouvement, une particule fluide subit des changements de position, d’orientation et de forme. Soit deux points voisins d’un fluide M (x , y ,z)et M '(x+dx, y+dy , z+dz) et leurs vitesses ⃗ V (M )et ⃗ V '(M ') à un instant t. Les composantes vitesses varient dans les trois directions : v' x=vx (x+dx , y+dy ,z+dz )=v x+d vx=vx+ ∂vx ∂x dx+ ∂v x ∂y dy+ ∂vx ∂z dz v' y=v y (x+dx , y+dy , z+dz )=v y+d v y=v y+ ∂v y ∂x dx+ ∂v y ∂y dy+ ∂v y ∂z dz v' z=v z(x+dx , y+dy ,z+dz )=vz+d vz=v z+ ∂vz ∂x dx+ ∂vz ∂y dy+ ∂vz ∂z dz Ces expressions peuvent être écrites, v' x=vx+1 2[−( ∂v y ∂x −∂vx ∂y )dy+( ∂v x ∂z −∂vz ∂x )dz]+D x Avec Dx=∂vx ∂x dx+ 1 2[( ∂v y ∂x + ∂v x ∂y )dy+( ∂v x ∂z + ∂vz ∂x )dz] De la même manière, on écrit les autres composantes : v' y=v y+ 1 2[( ∂v y ∂x −∂vx ∂y )dx−( ∂vz ∂y −∂v y uploads/Litterature/ chapitre-1-cinematique.pdf