Chapitre 1 Introduction aux signaux échantillonnés 1- Définitions 1.1 Signal: I

Chapitre 1 Introduction aux signaux échantillonnés 1- Définitions 1.1 Signal: Il s’agit d’une grandeur physique générée par un appareil ou appliquée à un dispositif. Exemples : température, pression, courant, tension, etc. 1.2 Signal continu : Lorsque le temps est continu et l’amplitude est continue, le signal est continu (analogique), tel que le signal brut délivré par un capteur physique. Un signal continu est caractérisé par une infinité d’amplitude. 1.3 Signal discret : Dans un système d’acquisition de données, les mesures sont réalisées à intervalles de temps réguliers. Le temps n’est plus traité comme une variable continue, mais est discrétisé (temps discret). En fait, un signal discret est obtenu par discrétisation d’un signal continu en utilisant un pas de discrétisation variable. Contrairement au signal continu, un signal discret est caractérisé par un nombre fini d’amplitude. 1.4 Signal échantillonné : Il s’agit d’un signal continu discrétisé par un pas de temps régulier. Ce pas est appelé période d’échantillonnage. 1.5 Signal numérique : Il s’agit d’un signal échantillonné quantifié en amplitude. 1.6 Quantification : L’opération de quantification consiste à attribuer un nombre binaire à toute valeur (amplitude) prélevée au signal lors de l’échantillonnage. 1.7 Signal causal : Un signal est dit causal s’il est nul pour toute valeur négative du temps. On note que nous ne considérerons dans la suite du cours que les signaux causaux. 2- Rappels sur la transformation de Laplace 1.1 Définition de la transformation de Laplace La transformation de Laplace est un moyen mathématique élégant de résoudre les équations différentielles linéaires. En automatique, elle permet un développement simple des modèles entrées-sorties continus et une analyse qualitative directe de l’influence de variables externes sur un système (procédé). On associe à la fonction (
) une autre fonction () de la variable complexe  appelée transformée de Laplace ainsi définie par :  = ℒ 
 = 
.    
(1.1) En supposant que le signal 
 est nul pour
< 0 (signal causal). On parle donc de transformée de Laplace monolatère. Le symbole ℒ se lit ‘l’opérateur de la transformée de Laplace’. Exemple 1.1 : Calculons la transformée de Laplace de 
 = , en utilisant l’équation (1.1), on obtient :  = ℒ 
 =  
.    
=  .    
=     
= 1 − +     = 1  +  Donc : ℒ −
=  = 1  +  2.2 L’inversion de la transformation de Laplace Parfois, il est nécessaire d’inverser la transformation de Laplace pour obtenir la solution ayant pour domaine le temps
c'est-à-dire dans le domaine temporel. La transformation faisant passer du domaine des  (domaine fréquentiel) au domaine des
s’appelle l’inversion de la transformation de Laplace. Soit  la transformée de Laplace du signal 
,
> 0. L’intégrale : 
 = ℒ−1 = . /01 .  2/ 2/  (1.2) s’appelle la transformée inverse de Laplace de la fonction (), avec ‘3’ est une valeur réelle. Le symbole ℒ. se lit ‘l’opérateur de la transformée inverse de Laplace’. 2.3 Propriétés de la transformation de Laplace La transformation de Laplace possède plusieurs propriétés importantes. Celles-ci sont résumées dans le tableau suivant : Tableau (1.1) : Propriétés de la transformation de Laplace N° Propriété Fonction en temps Transformée de Laplace 1 Linéarité . .
 ± 0 0
 . . ± 0 0 2 Retard 
−6 7.  3 Avance 
+ 6 7.  4 Translation Complexe . 
  −6 . 
  + 6 5 Changement de l’unité du Temps 
/  6 Dérivée  
 
 − 0 7 Dérivée d’ordre n 9 
 
9 9 −: 9.; 9. ;< . =; 
 
; > <? 8 Intégrale  @   @   + .0  9 Théorème de la valeur initiale 0 = lim →? 
 lim →  10 Théorème de valeur Finale ∞ = lim → 
 lim →  2.4 Table élémentaire de transformées de Laplace Le tableau suivant montre les transformées de Laplace de certaines fonctions élémentaires : Tableau (1.2) : Transformée de Laplace des fonctions Elémentaires N° Fonction en temps : DE Transformée de Laplace : FG 1 H
 1 2 I
 1  3
. I
 1 0 4
9. I
 J! 9. 5 . I
 1  +  6
9. . I
 1  + 9. 7 sinL
 . I
 L 0 + L0 8 cosL
 . I
  0 + L0 9  sinL
 . I
 L  + 0 + L0 10  cosL
 . I
  +   + 0 + L0 3- Signaux Discrets usuels Dans les systèmes de commande (d’asservissement) numériques (ou échantillonnés), on manipule souvent les signaux qui peuvent etre de type : continu, échantillonné, bloqué et numérisé. Nous présentons dans cette section en utilisant MATLAB, la définition de quelques signaux fondamentaux utilisés dans l’asservissement des systèmes discrets, à savoir : l’impulsion de Dirac discrète et le peigne de Dirac. 3-1 Impulsion de Dirac discrète (Kronecker) L’impulsion de Dirac (Kronecker) est un signal non réalisable. Physiquement, on a coutume de modéliser une impulsion de Dirac par un signal rectangle dont la largeur tend vers 0 et l’amplitude tend vers l’infini. L’impulsion de Dirac unité discrète est définie comme suit : HN = O 1, QIR N = 0 0, ∀ N ≠0 = (1.3) Pour une impulsion unité discrète et décalée à l’instant N = N, on a la définition suivante : H(N −N) = O 1, QIR N = N 0, ∀ N ≠N = Graphiquement, une représentation typique de l’impulsion de Dirac discrète est donnée par la figure suivante: Figure 1.1 Représentation de l’impulsion de Dirac discrète 3.2 Peigne de Dirac Ce signal est parfois appelé train d’impulsions, distribution de Dirac ou fonction d’échantillonnage. Le peigne de Dirac HV(
) est défini par : HV(
) = : H(
−NW)  ;< (1.4) Graphiquement, on représente le peigne de Dirac comme il est montré par la figure suivante : Figure 1.2 Représentation du peigne de Dirac 4- Echantillonnage d’un signal continu 4.1 Définition de l’échantillonnage L’échantillonnage est une opération de conversion d’un signal continu (
) en une série d’impulsions, dont les amplitudes sont déterminées par les valeurs du signal continu (
) aux instants d’échantillonnage. L’échantillonnage produit donc, à partir d’un signal continu (
), la suite d’échantillons { (NW)} : { (NW)} = { (0), (1W), (2W), … , (NW)} (1.5) que l’on note, en général : ∗(
) = (NW) = { (NW)} = { (0), (1W), (2W), … , (NW)} = { , ., 0, … , ;} (1.6) ou encore : (N) = (NW) = { (NW)} = { (0), (1W), (2W), … , (NW)} = { , ., 0, … , ;} (1.7) On définit : N : variable entière positive, N∈ℕ ; W : est la période d’échantillonnage (Par définition W>0); NW : sont les instants d’échantillonnage; (NW) et ;: sont les amplitudes du signal continu (
) aux instants d’échantillonnage NW ; ∗(
) = (N): est le signal échantillonné du signal continu (
). 4.2 Principe et modélisation de l’échantillonnage L’idée consiste à utiliser un interrupteur idéal que l’on ferme pendant une durée très courte (
⟶0), puis que l’on ouvre pendant une durée W (période d’échantillonnage). La figure suivante montre la modélisation de l’opération de l’échantillonnage par un interrupteur idéal. Figure 1.3 : Modélisation de l’échantillonnage par un interrupteur idéal : Échantillonnage d’un signal continu (
) 4.3 Opération de l’échantillonnage L’opération de l’échantillonnage se traduit mathématiquement par la multiplication du signal continu à échantillonner (
) par le peigne de Dirac HV(
). Pour
> 0, on a : ∗(
) = (NW) = (N) = (
) × HV(
) ∗(
) = (
) × : H(
−NW)  ;< = : (NW) × H(
−NW)  ;< (1.8) Cette opération peut être schématisée comme suit : Figure 1.4 : Schéma décrivant illustrant l’opération de l’échantillonnage d’un signal continu par un peigne de Dirac 5- Exemples de signaux usuels échantillonnés 5.1 Échelon unité Ce signal est défini par : a) Dans le cas continu I(
) = O 1, ∀
≥0 0, ∀
< 0 = b) Dans le cas échantillonné : I(N) = O 1, ∀ N ≥0 0, ∀ N < 0 = Ou : I(N) = I(NW) = I∗(
) = b1 c ↑ , 1,1,1,1, … 1e = : H(
−NW)  ;< Echantillonneur de période d’échantillonnage (T) ∗(
) (N
) (
) W ∗(
) (N
) (
) W ∗(
) (N
) (
) × HV(
) ∗(
) (
) La figure de MATLAB suivante propose une représentation schématique de l’échelon unité échantillonné obtenu avec T = 0.5 (s) versus l’échelon unité continu : Figure 1.5 : Echelon unité échantillonné VS. Echelon unité continu 5.2 Rampe unité Ce signal est défini par : a) Dans le cas continu R(
) = O
, ∀
≥0 0, ∀
< 0 = b) Dans le cas échantillonné : R(N) = O N, ∀ N ≥0 0, uploads/Litterature/ chapitre-1-introduction-aux-signaux-et-systemes-echantillonnes.pdf

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• Publié le Nov 04, 2022
• Catégorie Literature / Litté...
• Langue French
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