Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Signaux et Systèmes Linéaires ISET de Sousse Ahmed Anis KAHLOUL & Hatem CHOUCHA

Signaux et Systèmes Linéaires ISET de Sousse Ahmed Anis KAHLOUL & Hatem CHOUCHANE 1 Chapitre 2 Transformée de Laplace 1. Introduction L’étude des systèmes physiques s’accompagne obligatoirement de manipulation des équations différentielles. Cependant, la résolution n’est pas toujours simple. Pour faciliter les calculs, on utilise un outil mathématique puissant c’est la transformée de Laplace. 2. Définition Les processus étudiés seront caractérisés par des fonctions régies par des signaux continus. Soit une fonction ) t ( f continue sur et supposée nulle pour 0 t  (fonction causale). On appelle la transformée de Laplace de f la fonction F définie par :       0 ptdt e ) t ( f ) t ( f L ) p ( F Avec p une variable complexe. On note : 1 ( ) ( ) f t L F p       On appelle F(p) la transformée de Laplace de f(t) et f(t) est l’originale de F(p). 3. Transformée de Laplace des signaux de base 3.1 Echelon unité Ce signal est défini par : 1 0 ( ) 0 0 pour t u t pour t          p e p dt e t u L p U pt pt 1 1 ) ( ) ( 0 0            0 ) t ( u t 1 Signaux et Systèmes Linéaires ISET de Sousse Ahmed Anis KAHLOUL & Hatem CHOUCHANE 2   p 1 ) t ( u L  . 3.2 Impulsion de Dirac Soit la fonction ) t ( f définie par : 0 0 1 ( ) 0 0 pour t f t pour t pour t                   ) 1 e ( p 1 e p 1 dt e 1 ) t ( f L ) p ( F p 0 pt 0 pt                  avec 1 x 1 e lim x 0 x    En faisant tendre  vers zéro, ) t ( f devient ) t (  et ) p ( F tend vers1. D’où :   1 ) t ( L   3.3 Fonction puissance Soit ) ( ) ( t u t t r n n         0 ) ( ) ( dt e t t r L p R pt n n n . On pose : n t t x  ) (  1 . ) (   n t n t x t p e t y   . ) (  t p e p t y    1 ) ( En utilisant l’intégration par partie, on trouve :             0 1 0 1 ) ( dt e t p n e t p p R pt n pt n n  ) ( ) ( 1 p R p n p R n n     p t u L p R 1 ) ( ) ( 0   ) (t f 0 t  1  Signaux et Systèmes Linéaires ISET de Sousse Ahmed Anis KAHLOUL & Hatem CHOUCHANE 3 2 0 1 1 ) ( 1 ) ( p p R p p R   3 2 ) ( 2 ) ( 1 2 p p R p p R   4 6 ) ( 3 ) ( 2 3 p p R p p R   D’où par récurrence : n n n+1 n! R (p)=L t u(t) = p     3.4 Fonction exponentielle Soit la fonction ) t ( u e ) t ( f at   avec C a     p a 1 ) 1 0 ( p a 1 e p a 1 dt e e ) t ( f L ) p ( F 0 t ) p a ( pt 0 at                     -at 1 L e u( t ) a p      3.5 Fonctions sinus et cosinus Soit la fonction ) t ( u ) t sin( ) t ( f   , ) t ( u ) t cos( ) t ( g   et   ) t cos( e t j   ) t sin( j      j t 2 2 2 2 2 2 1 p j p L e u(t ) j p j p p p L cos( t )u(t ) jL sin( t )u(t )                        D’où   2 2 p L cos( t )u( t ) p     et   2 2 L sin( t )u( t ) p      . 4. Propriétés de transformés de Laplace Soit ) t ( f ,    ) t ( g , , C   , 0 a,   ) t ( f L ) p ( F  et   ) ( ) ( t g L p G  . Linéarité       ) ( ) ( ) ( ) ( t g L t f L t g t f L        Unicité     ) ( ) ( t g L t f L   ) ( ) ( t g t f  Changement d’échelle de temps   ) ( 1 ) ( a p F a at f L  Changement d’échelle de fréquence ) ( ) ( 1 at af a p F L         Signaux et Systèmes Linéaires ISET de Sousse Ahmed Anis KAHLOUL & Hatem CHOUCHANE 4 Translation dans le domaine temporel   ) ( ) ( ) ( p F e a t u a t f L ap     Translation dans le domaine complexe   ) ( ) ( a p F t f e L at    Transformée de Laplace de la dérivée   ) 0 ( ... ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 ) (            n n n n n f f p f p p F p t f L Transformée de Laplace de l’intégrale ) ( 1 ) ( 0 p F p dt t f L t        Théorème de la valeur initiale ) ( lim ) 0 ( ) ( lim 0 p pF f t f p t       Théorème de la valeur finale ) ( lim ) ( ) ( lim 0 p pF f t f p t       Remarque Si les conditions initiales sont nulles, alors :  dériver dans le domaine temporel revient à multiplier par p dans le domaine de Laplace.  intégrer dans le domaine temporel revient à diviser par p dans le domaine de Laplace. 5. Transformée de Laplace réciproque   ) p ( F L ) t ( f 1   est la fonction originale de ) p ( F , nous admettrons que si elle existe, elle est unique. Nous pourrons mettre la transformée sous forme de somme de transformées simples dont on connaît les originaux. Soit ) p ( D ) p ( N ) p ( F  avec ) D deg( ) N deg(  , en utilisant la décomposition en éléments simples, on trouve : ... e ) d p ( S Gp ... ) c p ( E ... b p B a p A ) p ( F 2 2 2              Exemple Déterminer la transformée de Laplace inverse de la fonction 1 p p 2 3 p ) p ( F 2 2     . Solution Signaux et Systèmes Linéaires ISET de Sousse Ahmed Anis KAHLOUL & Hatem CHOUCHANE 5                    2 1 2 2 5 2 1 2 1 1 2 3 ) ( 2 2 2 p p p p p p p uploads/Litterature/ chapitre-2-transformee-de-laplace.pdf