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IUT 1 DE GRENOBLE Département mesures physiques Cours de Mathématiques Premier

IUT 1 DE GRENOBLE Département mesures physiques Cours de Mathématiques Premier semestre Jean-Marie De Conto 1 Chapitre 1 : Rappels de trigonométrie Cercle trigonométrique : Il s’agit du cercle de rayon 1, centré sur l’origine O. O M A x y P Q On définit la mesure « principale » de l’angle (AOM), notée θ, par ) (AM = θ , la longueur de l’arc sur le cercle unité. La rotation dans le sens positif correspond au sens inverse des aiguilles d’une montre. Unité : un angle s’exprime, sauf indication contraire, en radians, unité légale. On utilise bien sûr d’autres unités comme le degré. π θ θ 180 deg radians rés = Longueur d’arc : Un arc défini par un angle θ (en radians) sur un cercle de rayon R a pour longueur R θ. Les angles sont comptés positivement dans le sens trigonométrique, inverse des aiguilles d’une montre. Un angle de 2π correspond à une rotation d’un tour complet. La mesure d’un angle est définie à 2π près. L’angle π correspond à un demi tour dans le sens direct, et à –π dans le sens rétrograde. Propriété : Les angles sont définis dans l’intervalle [0,2π] ou [-π,+π], de manière identique. Ils sont définis à un nombre entier de tours près. On écrira donc de manière générale : π θ θ k 2 0 + = Avec k entier et : ] 2 , 0 [ 0 π θ ∈ ou ] , [ 0 π π θ − ∈ 2 Fonctions trigonométriques : On définit : θ θ θ θ θ θ θ θ sin cos cot cos sin tan sin cos ____ ____ = = = = OM OP OM OQ Attention aux grandeurs algébriques (avec un signe). Angles remarquables La table qui suit est à connaître par cœur θ sin cos 0 0 1 6 π 2 1 2 3 4 π 2 2 2 2 3 π 2 3 2 1 2 π 1 0 On déduit les tangentes et cotangentes par calcul direct. Valeurs déduites par lecture sur le cercle trigonométrique. Elles sont légion et nous ne donnerons que quelques cas, à compléter soi-même : ? 2 sin ? 2 cos ? 2 sin ? 2 cos = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + θ π θ π π θ π θ ( ) ( ) ( ) ( ) ? sin ? cos ? sin ? cos = − = − = + = + θ π θ π π θ π θ ? 2 3 sin ? 2 3 cos ? 2 3 sin ? 2 3 cos = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + θ π θ π π θ π θ 3 Formules d’addition Nous verrons, dans la partie « nombres complexes » comment l’on démontre les formules qui suivent. Les relations fondamentales, les valeurs remarquables, ainsi que les formules relatives à l’angle double ou moitié sont à connaître par cœur. 4 Fonctions trigonométriques réciproques • L’équation y = θ sin admet une solution unique dans l’intervalle [-π/2, π/2]. On la note ) sin( y Arc = θ • L’équation y = θ cos admet une solution unique dans l’intervalle [0,π]. On la note ) cos(y Arc = θ • L’équation y = θ tan admet une solution unique dans l’intervalle ]-π/2, π/2[. On la note ) tan( y Arc = θ Nous avons ainsi défini trois fonctions trigonométriques réciproques : • Arcsin : défini de [-1 1] sur [-π/2, π/2] • Arccos défini de [-1 1] sur [0, π] • Arctan défini de ]-∞ +∞ [ sur ]-π/2, -π/2[ Propriétés élémentaires La définition des fonctions trigonométriques, ainsi que la relation permettent de démontrer aisément les relations suivantes : 1 sin cos 2 2 = + θ θ 2 / arcsin arccos 1 ) tan(arccos 1 ) tan(arcsin ) sin(arccos 1 ) cos(arcsin 2 2 2 π = + − = − = = − = x x x x x x x x x x x Exercice : démontrer ces relations Dérivation des fonctions réciproques Nous reverrons ce point ultérieurement, mais nous mentionnerons d’ores et déjà les relations : 2 2 2 1 1 arctan 1 1 arcsin 1 1 arccos x x dx d x x dx d x x dx d + = − = − − = 5 Equations trigonométriques. Première partie. On considère l’équation : φ θ = n Où n est un nombre entier et φ un angle fixé. Résolution : on sait que φ est défini à un nombre entier de rotations près, c'est-à-dire que l’équation s’écrit en fait, rigoureusement : n k n k n π φ θ π φ θ 2 2 + = + = L’équation précédente a n solutions (pour k=0…(n-1)). Exemple. Résoudre 3 5 π θ = Combien y a-t-il de solutions (sans calcul). Donner ensuite toutes les solutions. Equations trigonométriques. Seconde partie. Les fonctions réciproques, accessibles sur toute calculatrice, nous permettent de résoudre des équations trigonométriques simples, qui sont les suivantes : ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + − = + = ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + − = + = ⇔ = ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + − = + = ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + − = + = ⇔ = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = = ⇔ = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = = ⇔ = n k y Arc n n x ou n k y Arc n x k y Arc nx ou k y Arc nx y nx n k y Arc n x ou n k y Arc n x k y Arc nx ou k y Arc nx y nx y Arc x ou y Arc x y x y Arc x ou y Arc x y x π π π π π π π π π π π 2 ) sin( 1 2 ) sin( 1 2 ) sin( 2 ) sin( sin 2 ) cos( 1 2 ) cos( 1 2 ) cos( 2 ) cos( cos ) sin( ) sin( sin ) cos( ) cos( cos Détermination de l’angle quand on connaît son sinus ET son cosinus Dans ce cas, l’angle est unique (à 2π près) Soient les relations : ⎩ ⎨ ⎧ = = b x a x cos sin Alors : π + = = → = ) / arctan( ou ) / arctan( / ) tan( b a x b a x b a x . Mais seule une valeur est solution. Laquelle ? La fonction arctan a ses valeurs dans le demi-cercle trigonométrique de droite ]-π/2, π/2[, correspondant aux cosinus positifs. 6 Par conséquent : Si cosx>0 alors ) / arctan( / ) tan( b a x b a x = → = Si cosx<0 alors π + = → = ) / arctan( / ) tan( b a x b a x Equations trigonométriques. Troisième partie. Nous considérons maintenant les équations du type acosx+bsinx=c. La procédure est assez aisée. On se ramène par normalisation au sinus ou au cosinus d’une somme. 1 On normalise l’équation en la réécrivant, de manière équivalente : 2 2 2 2 2 2 sin cos b a c x b a b x b a a + = + + + On a alors, par construction : 1 2 2 2 2 2 2 = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + b a b b a a 2 On reconnaît le développement du sinus d’une somme. Il existe donc y, à déterminer, tel que : y b a a sin 2 2 = + et y b a b cos 2 2 = + L’équation devient finalement : 2 2 ) sin( sin cos cos sin b a c y x x y x y + = + = + • Cas 1 : 1 2 2 > + b a c pas de solution • Cas 2 : 1 2 2 ≤ + b a c On procède alors comme suit : - On résoud 2 2 ) sin( b a c z + = , ce qui donne deux solutions z1 et z2. - On détermine y de manière unique (à 2π près) car on connaît son sinus et son cosinus (paragraphe précédent). - on déduit x1,2=z1,2-y+2kπ (deux solutions). Remarque fondamentale : Si au lieu de cosx et de sinx on a cos(nx) et sin(nx), la résolution est identique. Par contre on a 2n solutions, x étant remplacé par nx. On a : nx1,2=z1,2-y+2kπ soit n k n y z x π 2 2 , 1 2 , 1 uploads/Litterature/ cours-maths-s1.pdf