UNIVERSITE CHEIKH ANTA DIOP DE DAKAR 1/ 7 OFFICE DU BACCALAUREAT BP 5005-DAKAR-

UNIVERSITE CHEIKH ANTA DIOP DE DAKAR 1/ 7 OFFICE DU BACCALAUREAT BP 5005-DAKAR-Fann-S´ en´ egal Serveur Vocal : 628 05 59 T´ el´ efax (221) 33 864 67 39 - T´ el. : 824 95 92 - 824 65 81 16 G 18 Bis A01 4 heures S´ erie S1-S3 Coef 8 . . Epreuve du 1er groupe M A T H E M A T I Q U E S Les calculatrices ´ electroniques non imprimantes avec entr´ ee unique par clavier sont autoris´ ees. Les calculatrices permettant d’afficher des formulaires ou des trac´ es de courbe sont interdites. Leur utilisation sera consid´ er´ ee comme une fraude.(CF.Circulaire n0 5990/OB/DIR. du 12 08 1998) CORRECTION Exercice 1. 1. L’application complexe F correspondant ` a f est de la forme F(z) = az + b avec a = 1 3j2 et b = 0. C’est donc la similitude plane directe d’angle θ = arg a = 2 arg j = 4π 3 , de rapport k = |a| = 1 3 et de centre le point d’affixe b 1 −a = 0 c’est ` a dire l’origine. 2. a. Un point M′ d’affixe z′ appartient ` a f(E) si et seulement si il existe un point M de E d’affixe z tel que F(z) = z′ c’est ` a dire z = 3 j2z′. Alors en tenant compte des indications sur j on a : M′(z′) ∈f(E) ⇔ M(z) ∈E ⇔ j z2 + j z2 −10 3 zz + 192 = 0 ⇔ j  3 j2z′2 + j  3 j2z′ 2 −10 3 3 j2z′ 3 j2z′  + 192 = 0 ⇔ 9z′2 + 9z′ 2 −30z′z′ + 192 = 0 ⇔ 3z′2 + 3z′ 2 −10z′z′ + 64 = 0 Si z′ s’´ ecrit x′ + iy′, alors M′(z′) ∈f(E) ⇔ 3(z′2 + z′ 2) −10z′z′ + 64 = 0 ⇔ 3 × 2 Re(z′2) −10(x′2 + y′2) + 64 = 0 ⇔ 3 × 2(x′2 −y′2) −10(x′2 + y′2) + 64 = 0 ⇔ x′2 + 4y′2 = 16 L’´ equation x2 + 4y2 = 16 est bien une ´ equation cart´ esienne de f(E). b. Cette derni` ere ´ equation s’´ ecrit aussi x2 42 + y2 22 = 1. f(E) est donc une ellipse de centre l’origine. Ses foyers F ′ 1 et F ′ 2 ont pour coordonn´ ees respectives (−c, 0) et (c, 0) avec c = √ 42 −22 = 2 √ 3. Son excentricit´ e est e = c 4 = √ 3 2 2 16 G 18 Bis A01 MATHEMATIQUES 2 /7 S´ erie S1-S3 Epreuve du 1er groupe 3. Les foyers et axes de E sont les images r´ eciproques des foyers et axes de f(E) par la similitude r´ eciproque de f, laquelle a pour centre O, pour angle −θ = −4π 3 ≡2π 3 [2π] et pour rapport 1 k = 3. Voir les graphiques de f(E) et de E dans la figure 1. Exercice 2. Le nombre total de boules est n + (8 + n) + 20 = 28 + 2n. 1. Notons pN, pB et pR les probabilit´ es de tirer une noire, une blanche et une rouge respecti- vement. Puisque les tirages sont avec remise, ces probabilit´ es sont ind´ ependantes du num´ ero (premier ou second ) du tirage. R pR B N pN N pN pB N pN pN = 8 + n 28 + 2n; pB = 20 28 + 2n; pR = n 28 + 2n; Pour gagner, il faut avoir tir´ e une noire au premier tirage (probabilit´ e pN) ou avoir tir´ e une blanche au premier tirage et une noire au second tirage (probabilit´ e pB × pN). Donc la probabilit´ e de gagner est pN + pB × pN = (n + 8)(n + 24) 2(n + 14)2 = f(n). 2. a. Etudions d’abord les variations de f. f est continue et d´ erivable sur R∗ + et ∀x ∈R∗ +, f ′(x) = 2 −x + 16 (x + 14)3. Voici son tableau de variations. x 0 1 16 +∞ f ′(x) + + 0 − f(x) ✟ ✯ ✟ ✟ 1/2 ✟ ✯ ✟ ✟ 8/15 ❅ ❅ ❅ ❘1/2 On y voit nettement que f atteint un maximum ´ egal ` a 8 15 au point 16 (qui est heureusement un entier). Pour que cette probabilit´ e soit maximale, il faut donc et il suffit que n = 16 et cette probabilit´ e vaut 8 15. b. La restriction de f ` a N∗atteint un minimum ´ egal ` a 1 2 au point 1. Pour que cette probabilit´ e soit minimale, il faut donc et il suffit que n = 1 et cette probabilit´ e vaut 1 2. Quand x tend vers +∞, f(x) tend vers 1 2 mais cette valeur n’est pas atteinte par f dans l’intervalle [16, +∞[ 16 G 18 Bis A01 MATHEMATIQUES 3 /7 S´ erie S1-S3 Epreuve du 1er groupe3 3. a. X prend les valeurs x1 = p −8, x2 = q −8 et x3 = −8 avec les probabilit´ es p1 = P(X = x1) = pN = 2 5 p2 = P(X = x2) = pB × pN = 2 15 p3 = P(X = x3) = 1 −p1 −p2 = 7 15 = aussi pR + pB × pN = n 28 + 2n + 20 28 + 2n  1 − 8 + n 28 + 2n  L’esp´ erance math´ ematique de X est E(X) = p1x1 + p2x2 + p3x3 = 2 5(p −8) + 2 15(q −8) + 7 15(−8) = 2 5p + 2 15q −8 b. La nullit´ e de l’esp´ erance math´ ematique signifie donc 3p + q = 60. Le couple (p0, q0) = (20, 0) est une solution ”particuli` ere” de l’´ equation diophantienne 3p + q = 60. La solution g´ en´ erale de cette ´ equation est donc q = 3k + q0 = 3k et p = −k + p0 = −k + 20, k ∈Z Les contraintes suppl´ ementaires sur p et q deviennent −k+20 > 3k > 8 c’est ` a dire 8 3 < k < 5. k vaut donc 3 ou 4 et les couples (p, q) possibles sont (17, 9) et (16, 12). 4. Pour p = 16 et q = 12, on sait d’apr` es ce qui pr´ ec` ede que l’esp´ erance math´ ematique est nulle. La variance vaut alors V (X) = E(X2) −[E(X)]2 = E(X2) V (X) = p1x2 1 + p2x2 2 + p3x2 3 = 2 582 + 2 1542 + 7 1582 = 18 × 16 5 Et l’´ ecart type vaut σ(X) = p V (X) = 4 r 18 5 PROBLEME. Partie A 1. a. La fonction ϕ : x 7→x −1 −ln x est d´ efinie, continue et d´ erivable sur R∗ + et ∀x ∈R∗ +, ϕ′(x) = 1 −1 x = x −1 x La d´ eriv´ ee s’annule au point 1 et est > 0 si et seulement si x > 1. Voici le tableau de variations de ϕ. x 0 1 +∞ ϕ′(x) − 0 + ϕ(x) ❅ ❅ ❅ ❘0 ¯ ✒ On y voit nettement que la fonction ϕ est positive ; donc ∀x ∈R∗ +, ln x ≤x −1. Soit x un r´ eel > 0 et k un entier naturel non nul. Dans la relation pr´ ec´ edente, en rempla¸ cant x par x k, on a ln x k ≤x k −1 puis par int´ egration : Z k+1/2 k−1/2 ln x k dx ≤ Z k+1/2 k−1/2 x k −1  dx = hx2 2k −x ix=k+1/2 x=k−1/2 = 0 b. En sommant les relations pr´ ec´ edentes de k = 1 ` a k = n on a : n X k=1 Z k+1/2 k−1/2 ln x k dx ≤0 puis n X k=1 Z k+1/2 k−1/2 (ln x −ln k) dx ≤0 ensuite, avec la relation de Chasles : Z n+1/2 1/2 ln x dx − n X k=1 ln k ≤0 ou Z n+1/2 1/2 ln x dx −ln(n!) ≤0 4 16 G 18 Bis A01 MATHEMATIQUES 4 /7 S´ erie S1-S3 Epreuve du 1er groupe c. Comme x 7→x ln x −x est une primitive de x 7→ln x (r´ esultat que l’on obtient par int´ egration par parties), h x ln x −x in+1/2 1/2 −ln(n!) ≤0 c’est ` a dire ln(n!) + n −  n + 1 2  ln  n + 1 2  −ln √ 2 ≥0 2. a. La fonction g est d´ efinie, continue et d´ erivable sur [0, 1[ et ∀x ∈[0, 1[, g′(x) = 2x (1 −x2)2 Voici le tableau de variations de g. x 0 1 g′(x) + g(x) 1 ¯ ✒ +∞ b. - Pour tout x dans ]0, 1[, la fonction h est continue sur uploads/Litterature/ math2-pdf 1 .pdf

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littérature fonction cette c’est probabilit´ entier
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