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COURS ET EXERCICES DE MATHEMATIQUE FKM 2014 Page 1 Rédigé par :          à ! "#$% &' ((  )*+é - . /  &' ((  0 ( 1 2-32 ( 5 −%+! 7 ! # 8é3  ) (: / ) ) * - ;'' (: / ) Dakar, Septembre 2013 COURS ET EXERCICES DE MATHEMATIQUE FKM 2014 Page 2 Ce livre s’adresse aux élèves des classes de Première S. Conforme aux Programmes officiels en vigueur dans les séries S1, S2 et S3, il a pour but de leur présenter les connaissances indispensables et de mettre à leur disposition de nombreux exercices et problèmes pour appliquer celles-ci. Il n’est cependant pas un substitut au Cours du Professeur qui demeure irremplaçable. Chaque notion du cours introduite a été illustrée d’exemples et tous les résultats du programme sont démontrés. Nous avons évité cependant toute digression inutile, nous concentrant sur l’essentiel. Nous avons voulu être très pratiques et ne donner à l’élève que ce dont il a vraiment besoin pour réussir les évaluations et avoir le niveau requis pour affronter la classe suivante (Terminale S1 ou S2). Tout discours superflu (par exemple sur l’histoire ou la biographie des mathématiciens) a donc été omis. En général, un élève ne pourra pas étudier toutes les situations présentées dans ce livre, mais, sous la guidée de son Professeur, il pourra sélectionner les notions et exercices qui correspondent à des objectifs précis, en fonction de sa classe et de sa série. Il ne s’agit pas d’un traité aux prétentions encyclopédiques mais, plus modestement, d’un outil de travail qui veut éviter à l’élève, comme c’est le cas actuellement, de devoir consulter une demi-douzaine d’ouvrages pour bien maîtriser les concepts. Nous espérons que cet humble travail, malgré ses imperfections, sera utile aux élèves et aux collègues. Nous remercions par avance toute personne qui voudra bien nous faire part de remarques ou suggestions pour l’améliorer. LES AUTEURS COURS ET EXERCICES DE MATHEMATIQUE FKM 2014 Page 3 TABLE DES MATIERES CHAPITRE 1 : DENOMBREMENT (Page 5) CHAPITRE 2 : EQUATIONS, INEQUATIONS ET SYSTEMES (Page 43) CHAPITRE 3 : GENERALITES SUR LES FONCTIONS (Page 79) CHAPITRE 4 : FONCTIONS POLYNÔMES (Page 120) CHAPITRE 5 : VECTEURS, REPERES, BARYCENTRES (PAGE 147) CHAPITRE 6 : GEOMETRIE DANS L’ESPACE (Page 177) CHAPITRE 7 : PRODUIT SCALAIRE DANS LE PLAN (Page 226) CHAPITRE 8 : ANGLES ORIENTES ET TRIGONOMETRIE (Page 263) CHAPITRE 9 : LIMITES ET CONTINUITE (Page 327) CHAPITRE 10 : DERIVEES ET APPLICATIONS (Page 351) CHAPITRE 11 : ETUDE DE FONCTIONS (Page 368) CHAPITRE 12 : PRIMITIVES (Page 396) CHAPITRE 13 : SUITES NUMERIQUES (Page 400) CHAPITRE 14 : STATISTIQUES (Page 432) CHAPITRE 15 : TRANSFORMATIONS DU PLAN (Page 461) CHAPITRE 16 : ORTHOGONALITE ET PRODUIT SCALAIRE DANS L’ESPACE (Page 507) COURS ET EXERCICES DE MATHEMATIQUE FKM 2014 Page 4 COURS ET EXERCICES DE MATHEMATIQUE FKM 2014 Page 5 CHAPITRE 1 : DENOMBREMENT 1. INTRODUCTION L’objet du dénombrement est, comme son nom l’indique, de compter le nombre d’éléments d’un ensemble bien défini c’est-à-dire d’un ensemble dont les éléments possèdent une propriété ne posant aucun problème d‘ambiguïté. Compter peut s’avérer assez délicat dans des cas complexes où l’on ne « voit pas » les objets qu’on souhaite dénombrer. Voici par exemple des exercices simples de dénombrement : • Combien de mots de quatre lettres distinctes ou non peut-on constituer avec l’al- phabet? • Dix athlètes prennent le départ d’une course. Combien y a-t-il d’arrivées possibles ? • Combien y a-t-il de façons de sélectionner une équipe de 6 joueurs parmi les 10 membres d’un club? Nous allons mettre en place des outils et méthodes pour résoudre ce type de problèmes. Le dénombrement utilise un vocabulaire spécialisé tel que : combinaison, 8-liste, arrangement, permutation, ensemble, cardinal d’un ensemble, réunion, intersection, complémentaire, … Les outils utilisés en dénombrement sont très variés : des entiers naturels particuliers tels que 2!, "= >, += > et 2>, des représentations telles que le diagramme de Venn, les diagrammes sagittaux , les arbres de choix , les tableaux à double entrée … Les problèmes de dénombrement se ramènent aussi parfois à des situations où on doit déterminer le nombre de façons d’obtenir p éléments choisis parmi 2 éléments donnés. Devant de telles situations, les questions qu’on se pose sont : -Les éléments sont-ils choisis sans ordre ou avec ordre ? COURS ET EXERCICES DE MATHEMATIQUE FKM 2014 Page 6 -Sont-ils différents ou un élément donné peut-il être choisi plusieurs fois ? On a souvent reproché à certains énoncés d’exercices de dénombrement d’être flous et ambigus à tel point que l’on se demande parfois ce que veut dire le texte. Beaucoup d’efforts doivent être faits pour avoir des énoncés clairs, ne posant aucun problème d’ambigüité, et étant le moins possible sujets à des interprétations différentes pour les résoudre. 2. Ensemble 2.1 Notion d’ensemble Une collection d’objets ayant tous une propriété bien définie, est un ensemble. Chaque objet figurant dans un ensemble est appelé élément de cet ensemble. Un ensemble est souvent noté par une lettre majuscule et un élément de cet ensemble par une lettre minuscule. Exemple : notons ? l’ensemble des chiffres du nombre 12244 @ contient les éléments 1,2 et 4. 2.2 Ecritures d’un ensemble a) Ecriture en extension d’un ensemble On peut écrire un ensemble en donnant tous ses éléments ; on dit alors qu’on écrit cet ensemble en extension. Ecrire un ensemble en extension consiste à écrire entre deux accolades tous les éléments de cet ensemble, chaque élément étant écrit une seule fois, deux éléments quelconques étant séparés par une virgule ou un point – virgule ; un élément donné pouvant être mis à n’importe quelle place. Dans l’exemple précédent, 0 = B1,2,4G  0 = B4,2,1G  0 = B2,4,1G , … En changeant l’ordre des éléments d’un ensemble, cet ensemble reste inchangé. b) Ecriture en compréhension d’un ensemble On peut écrire un ensemble en utilisant une propriété commune à tous ses éléments ; on dit qu’on a écrit cet ensemble en compréhension COURS ET EXERCICES DE MATHEMATIQUE FKM 2014 Page 7 E Exemple : E étant l’ensemble des entiers naturels compris strictement entre 2 et 8, l’écriture en compréhension de E est : E= B2 ∊ ℕ/ 2 < 2 < 8G On lit alors E est l’’ensemble des entiers naturels n tels que 2 < 2 < 8 2.3 Ensemble fini-Ensemble infini Si on peut compter le nombre n d’éléments d’un ensemble E, on dit que cet ensemble est fini. Le nombre d’éléments 2, d’un ensemble fini E, est appelé cardinal de cet ensemble fini E et on note 0 - % = 2 . Exemple : l’ensemble E des entiers naturels strictement compris entre 2 et 8, est un ensemble fini E = B3; 4; 5; 6; 7G E a 5 éléments qui sont 3, 4 ,5 ,6 et 7 ; son cardinal est 5 : 0 - % = 5. Un ensemble qui n’est pas fini est dit infini. On ne peut pas déterminer par comptage le nombre d’éléments d’un tel ensemble. Par exemple l’ensemble ℕ des entiers naturels est un ensemble infini ℕ=B0,1,2,3, … , 2, … G 2.4 Diagramme de Venn d’un ensemble Un ensemble E peut être représenté par un diagramme de Venn: à l’intérieur d’une courbe fermée, on place les éléments de %, l’emplacement de chacun étant marqué par une croix % = B3 ; 4 ; 5 ; 6G 3× ×5 4× ×6 COURS ET EXERCICES DE MATHEMATIQUE FKM 2014 Page 8 2.5 Appartenance Si a est un élément d’un ensemble A, on dit que a appartient à A et on note a ∊ A. Le symbole ∊ est appelé symbole d’appartenance. 2.6 Ensembles particuliers a) Ensemble vide Un ensemble ne contenant aucun élément est appelé ensemble vide et est noté ∅. Exemple : Il n’existe aucun entier naturel compris entre 0,2 et 0 ,7. Donc l’ensemble des entiers naturels compris entre 0,2 et 0,7 est l’ensemble vide ∅. b) Singleton On appelle singleton un ensemble qui ne contient qu’un seul élément. Exemple : l’ensemble des entiers naturels strictement compris entre 2 et 4 est le singleton B3G. c) Paire Un ensemble contenant deux éléments est appelé paire. Exemple : l’ensemble des éléments du nombre 1122 est la paire {1,2}. d) Produit cartésien • Produit cartésien de deux ensembles : Le produit cartésien d’un ensemble " par un ensemble W, noté " × W est l’ensemble des couples ( , X) tels que a est élément de " et X est élément de W. " × W = B( , X)/ ∈ " X ∈ WG Remarque : Parenthèses et accolades Le produit cartésien W × " est différent de " × W, car un couple est ordonné : Si ≠ X, ( , X) ≠(X, ). Un couple étant ordonné, est écrit à l’aide de parenthèses ; l’ordre des éléments d’une paire n’étant pas important, une paire est écrite à l’aide d’accolades : si ≠ X, alors uploads/Litterature/ 1-s-maths.pdf

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