Concours National d’Accès aux Écoles de Management – Session 2017 – ECT al9ahir

Concours National d’Accès aux Écoles de Management – Session 2017 – ECT al9ahira La mise en page a été quelque peu modifiée par rapport à l’original. L’énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière ECT, comporte 5 pages. L’usage de tout matériel électronique, y compris la calculatrice, est interdit. Les candidats sont informés que la qualité de la rédaction et de la présentation, la clarté et la précision des raisonnements constitueront des éléments importants pour l’appréciation des copies. Il convient en particulier de rappeler avec précisions les références des questions abordées. Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre. Le sujet de cette épreuve est composé de deux exercices et d’un problème indépendants entre eux. Exercice 1 À propos de la loi exponentielle Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre λ > 0 ; on rappelle que sa densité f est définie par : f(x) =    λe−λx si x > 0 ; 0 si x ≤0 . 1. Calculer son espérance E(X) et sa variance V (X). 2. Déterminer sa fonction de répartition notée F. 3. On considère la variable aléatoire Y = 1 + ⌊X⌋, où ⌊a⌋désigne la partie entière du réel a. Montrer que Y est presque sûrement à valeurs dans N∗, c-a-d P(Y ⩽0) = 0, et que, pour tout k ∈N∗, P(Y = k) = (1 −e−λ)e−λ(k−1). Reconnaître la loi de Y . Dans la suite de l’exercice, on considère deux variables aléatoires X1 et X2 indépendantes et suivant la même loi que X avec λ = 1. 4. On considère la variable aléatoire Z = max(X1, X2). 4.1. Vérifier que, pour tout x ∈R, {Z ⩽x} = {X1 ⩽x} ∩{X2 ⩽x}. 4.2. Déterminer la fonction de répartition FZ de la variable aléatoire Z ainsi qu’une densité de Z. 4.3. Calculer l’espérance E(Z) de la variable aléatoire Z. 5. On considère la variable aléatoire T = min(X1, X2). 5.1. Exprimer la variable aléatoire Z + T en fonction de X1 et X2. 5.2. En déduire l’espérance E(T) de la variable aléatoire T. Exercice 2 Étude d’une suite récurrente Dans cet exercice, g désigne la fonction définie sur R par : ∀x ∈R, g(x) = 1 4  3x2 −2(c + d)x + cd + 2(c + d)  On considère la suite réelle (un)n∈N définie par la donnée de u0 = λ ∈R et la relation de récurrence un+1 = g(un), n ∈N. 1. Dans cette question, on suppose que c = d = 0. 1.1. Que peut-on dire de la suite (un)n∈N si λ = 0 ? Dans la suite de cette question, on suppose que λ ̸= 0. Épreuve de Mathématiques 1/5 https: // al9ahira. com/ Concours National d’Accès aux Écoles de Management – Session 2017 – ECT 1.2. Montrer que un > 0 pour tout entier naturel n ⩾1. On pose wn = ln un pour tout entier naturel n ⩾1, où ln désigne le logarithme népérien. 1.3. Pour tout entier naturel n ⩾1, exprimer wn en fonction de n et de λ. On pourra commencer par exprimer wn+1 en fonction de wn. 1.4. En déduire une expression de un en fonction de n et de λ, pour tout entier naturel n ⩾1. 1.5. Discuter, selon les valeurs du réel λ, la convergence de la suite (un)n∈N et préciser sa limite le cas échéant. 2. Dans cette question, on suppose que c = d = 2. 2.1. Montrer que si la suite (un)n∈N converge alors sa limite est égale à 2. 2.2. On suppose que λ > 2. Montrer que la suite (un)n∈N est strictement croissante et qu’elle diverge vers +∞. 2.3. Montrer qu’il existe deux réels λ1 et λ2, avec λ1 < λ2, tels que u1 = 2 si, et seulement si, λ ∈{λ1, λ2}. 2.4. On suppose que λ ∈]λ1, λ2[. Montrer que la suite (un)n∈N converge et préciser sa limite. 2.5. On suppose que λ < λ1. Montrer que la suite (un)n∈N diverge vers +∞. 2.6. Un premier calcul avec Scilab On prend ici λ = 1. Recopier et compléter le programme Scilab ci-dessous pour qu’il calcule et affiche le terme un pour une valeur de n entrée au clavier. n=input(’entrer la valeur de n’) u= ... for k=1:n u= ... end disp(u) 2.7. Un deuxième calcul avec Scilab On prend λ = 1 et on saisit le code suivant : n=0 u=1 while u<=1,9999 u= (3*u*u-8*u+12)/4 n=n+1 end disp(n) Après exécution, quelle est la signification du résultat affiché par ce programme ? 3. Dans cette question, on suppose que c < d < 2. 3.1. Soit P l’application polynomiale définie par : P(x) = 3x2 −2(2+c+d)x+cd+2(c+d), x ∈R. Préciser les valeurs de P(c), P(d) et P(2) puis déterminer leur signe. 3.2. On suppose que la suite (un)n∈N converge vers une limite ℓ. Montrer que c < ℓ< d ou bien d < ℓ< 2. al9ahira Problème On considère les matrices réelles carrées d’ordre 3 suivantes : A =     0 1 2 1 2 0 0 1 2 1 1 2 0    , P =     3 0 1 2 1 1 4 −1 −2    , Q = 1 9     1 1 1 −8 10 1 6 −3 −3    , et T =     1 0 0 0 −1 2 −1 2 0 0 −1 2    . Épreuve de Mathématiques 2/5 https: // al9ahira. com/ Concours National d’Accès aux Écoles de Management – Session 2017 – ECT 1ère Partie Détermination d’un polynôme annulateur de la matrice A 1.1. Recherche d’un polynôme annulateur de la matrice A 1.1.1. Calculer A2 puis A3. 1.1.2. Vérifier que 4A3 = 3A + I, où I est la matrice identité d’ordre 3. 1.1.3. En déduire un polynôme de degré 3 annulateur de la matrice A. 1.2. Étude des racines d’un polynôme On considère l’application polynomiale R définie par : R(x) = 4x3 −3x −1, x ∈R. 1.2.1. Vérifier que 1 est racine de R. 1.2.2. Montrer que, pour tout réel x, R(x) = (x −1)(2x + 1)2. 1.2.3. En déduire que −1 2 est racine de R. 1.3. Quelles sont les valeurs propres possibles de la matrice A ? Justifier votre réponse. al9ahira 2ème Partie Réduction de la matrice A et calcul de ses puissances 2.1. Valeurs propres de la matrice A 2.1.1. Vérifier que les vecteurs V1 =     3 2 4    et V2 =     0 1 −1    sont des vecteurs propres de la matrice A et préciser les valeurs propres auxquelles ils sont respectivement associés. 2.1.2. Préciser alors les valeurs propres de la matrice A. 2.2. Inversibilité et inverse de P 2.2.1. Calculer le produit matriciel PQ. 2.2.2. En déduire que la matrice P est inversible et préciser son inverse P −1. 2.3. Relation entre les puissances des matrices A et T 2.3.1. Calculer les produits matriciels PT et AP. 2.3.2. Montrer, pour tout entier naturel k ⩾1, l’égalité Ak = PT kP −1. 2.4. Calcul des puissances des matrices A et T 2.4.1. En faisant un raisonnement par récurrence, montrer que, pour tout entier naturel k ⩾1, T k =     1 0 0 0 −1 2 k k −1 2 k 0 0 −1 2 k    . 2.4.2. En déduire que, pour tout entier naturel k ⩾1, Ak = 1 9     3 + 6 −1 2 k 3 −3 −1 2 k 3 −3 −1 2 k 2 + (−2 + 6k) −1 2 k 2 + (7 −3k) −1 2 k 2 −(2 + 3k) −1 2 k 4 + (12 −18k) −1 2 k 4 + (−24 + 9k) −1 2 k 4 + (3 + 9k) −1 2 k    . Épreuve de Mathématiques 3/5 https: // al9ahira. com/ Concours National d’Accès aux Écoles de Management – Session 2017 – ECT 3ème Partie Application à l’étude d’une marche aléatoire sur le net On considère le graphe ci-dessous modélisant un internet simplifié constitué de trois pages (ou sites) placées en ses sommets. Les arrêtes du graphe représentent les liens entres ces trois pages. L’algorithme du « Page Rank » consiste à surfer au hasard sur internet et à compter le nombre de fois qu’on passe sur chacune de ses pages en fonction du temps. al9ahira 1 2 3 Figure 1: Schéma du graphe. Dans ce graphe, la paqe 1 possède un lien vers la page 3 mais n’a aucun lien vers la page 2 ; la page 2 possède un lien vers la page 1 et un vers uploads/Litterature/ cnaem-maths-ect-2017.pdf

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littérature matrice entier naturel montrer suite
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