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EPREUVE DE SPÉCIALITÉ SECONDAIRE QUALIFIANT Problème 1 On considère l'équation

EPREUVE DE SPÉCIALITÉ SECONDAIRE QUALIFIANT Problème 1 On considère l'équation différentielle suivante: 1 1 ) 1 (E): y + (- - 1 Y = -, x x où y est définie sur l'intervalle l =]0, +00[. Partie I: (3 rt>J CA) ( If) (-1.) (Dl\) 1. Donner les solutions de l'équation homogène associée à (E). 2. Soit U la fonction définie sur l par: u(x) = e: v(x), où v est une fonction dérivable sur J. a. Déterminer v pour que U soit une solution particulière de l'équation (E). b. Montrer que toute solution de (E) s'écrit sous la forme y: x ri ae:-l oùo est un nombre réél. . c. Montrer que parmi ces solutions, il existe une et une seule qui est prolongeable par continuité en zéro. Partie II : ("=l-pb) Soit la fonction f définie sur IRpar : { f(x) = ex;, f(O) = 1. SI Soit (Cf) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (0,r,J). ;L 1. a. Montrer que le développement limité de f au voisinage de zéro à l'ordre 2 est: 1 1 f(x) = 1+ "2x + 6X2 + o(x2) t'If tDt{ b. En déduire que f est dérivable en 0 puis écrire l'équation de la tangente à la courbe (Cf) cu, point d'abscisse O. Otf+~I) 2. Cp +0(( O,ftOI) 3. (.0,6°) ( G(l) -:L a. Calculer lim f(x) et lim f(x). X-t-OO X-t+CXl b. Etudier les branches infinies de (Cf). Montrer que f est dérivable sur IRet que pour tout x de IR*,on a : f'(x) = g;~), où 9 est une [onc-tion définie sur IR à préciser. 4. Etablir que: Vx E IR (x - l)e X + 1 ~ O. 5. En déduire les variations de f sur IR. 6. Montrer que la fonction f est convexe, puis tracer C]. Partie III: ( 4 p4-5 ) Soit (un)n la suite numérique définie par: Ua = 1, Un+l = f(un) - 1, nE N. (J est la fonction définie à la partieJl) o 1 ~ 1. a. Vérifier que 0 < Ul < Ua· "1,) b. Montrer que Vn EN: Un+l < Un· 0,) 2. En déduire que (Un)n~l est une suite convergente puis calculer sa limite L. 01 ( 3. Montrer que 0 ~ L ~ 1. page : 1 EPREUVE DE SPÉCIALITÉ SECONDAIRE QUALIFIANT 1p.J5 4. Etablir que L = a ou bien é = L2 + L + 1. Donner alors la valeur de L . .-1pt 5. Montrer que: \.Ix E]O, 1]: e" - (x2 + X + 1) > O. Quelle est la valeur de L'! Partie IV : €, p4r Soit F la fonction : { F(x) =t: f~t) dt F(O) = ln 2. 1. a. En appliquant le théorème des accroissements finis à la fonction J sur l'intervalle [O.LL t > O. Montrer que a < f(t~-l < J'(t) b. En déduire que: \.Ix > 0, F(x) -ln 2 :S f(2x) - J(x) puis que F est continue en zéro R droite'. 2. Pour tout x > 0, montrer que: si x> 0, f (x) ln 2 :S F (x) :S f (2x) ln 2 --1 1 1 3. En déduire lim F(x) et lim F(.x) x-t+oo x-t+oo X 4. Montrer que F est dérivable sur 1R~ et \.Ix > a : F' (x) = f(2x); f(x). Donner le sens de variation de P. 5. Ecrire le développement limité de F en zéro à l'ordre 2 puis en déduire que F est dérivable à droite en zéro. Combien vaut PI(O)? page : 2 ~/5, 1. .~ 2. g(Jfi i (),J) 3. EPREUVE DE SPÉCIALITÉ SECONDAIRE QUALIFIANT Problème 2 On rappelle que M3(IR) est une algèbre. A toute matrice M, on associe un unique endomorphisme dont la matrice dans la base canonique de IR3 est M. La matrice identité d'ordre 3 est notée 13. On considère la matrice suivante : A = ( ~ ~1~1) -1 4 3 Partie I : Calculer le déterminant de A. La matrice A Est-elle inversible? a. Expliciter la matrice J telle que A = 13+ J puis calculer J2 et P. b. En déduire que pour tout entier n 2: 3, J" est la matrice nulle. Montrer que (E) : n n(n - 1) 2 '\ln E N, A = 13 + nJ + 2 J. 4. En déduire alors, pour tout entier naturel supérieur ou égal à 2 , l'expression explicite de la matrice V An. A.~ ~ 5. Calculer :(13 + J)(13 - J + ]2). 6. En déduire que la matrice A est inversible et préciser A-] en fonction de 13 et 1. 7. Vérifier que la relation (E) reste valable pour n = -1. A Partie II : 1. Vérifier que la matrice A - 13 n'est pas inversible. '~,tI\1J 2. Déterminer un vectem;"le] tel que (A - 13)el = o. 3. Soit f l'application linéaire canoniquement associée à A. a. Donner une base (e2, e3) du sous espace vectoriel (P) d'équation: y = o. 1- b. Exhiber (donner) un vecteur non nul v, non colinéaire à e] tel que v E (P) et f(v) cf:. (P)\{O}.-1. c. Compléter {v} en une base (v,w) du plan (P). Vérifier que la famille {e],v,u:} est Iinéairoruent V indépendante dans IR3. d. Vérifier que la famille B = (el, v, w) est une base de IR3. e. Ecrire matrice de l'endomophisme f dans la base B. page: 3 uploads/Litterature/ epreuve2-math-lycee.pdf