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Chapitre 9 Suites numériques Objectifs – Déﬁnir l’ensemble des suites réelles e

Chapitre 9 Suites numériques Objectifs – Déﬁnir l’ensemble des suites réelles et étudier la structure de cet ensemble. – Donner la déﬁnition générale de limite et ses applications – Étudier les propriétés des limites vis à vis des opérations et de la relation d’ordre. – Étudier le lien entre le sens de variation d’une suite et la notion de limite. – Étendre ces diﬀérentes notions aux suites complexes. – Déﬁnir les trois relations de comparaison entre les suites. Plan 9 Suites numériques 104 I) Suites réelles, généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 1) Déﬁnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 2) Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 3) Opérations sur les suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 II) Suites convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 1) Déﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 2) Premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 3) Convergence et opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4) Convergence et relation d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 III) Suites ayant une limite inﬁnie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 1) Déﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 2) Limite inﬁnie et ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 3) Limite inﬁnie et opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 IV) Théorèmes d’existence d’une limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 1) Suites monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 2) Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 3) Le théorème de BOLZANO - WEIERSTRASS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 V) Extension aux suites complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 1) Déﬁnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 2) Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 3) Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 VI) Comparaison des suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 1) Déﬁnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 2) Les exemples classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 3) Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 [MPSI Lycée Guez De Balzac] Suites réelles, généralités 105 VII) Annexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 1) Structure d’anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 2) Relation d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 VIII)Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 I) Suites réelles, généralités 1) Déﬁnitions ▲Déﬁnition 9.1 Une suite numérique u est une application de A vers R : u : A →R, où A est une partie de N. Par convention le réel u(n) est noté un, et la suite u est parfois notée (un)n∈A. Si la partie A est ﬁnie, on dit que la suite u est une suite ﬁnie. L’ensemble des suites réelles déﬁnies sur A est donc l’ensemble des applications de A vers R, c’est à dire F(A, R). On prendra garde à ne pas confondre un qui est un réel (terme de rang n) avec (un)n∈A qui désigne la suite u. Les suites ﬁnies présentant peu d’intérêt, on étudiera seulement le cas où A est une partie inﬁnie de N. On peut alors montrer qu’il est toujours possible de se ramener au cas où A = N, si bien que dans la suite de ce chapitre on étudiera F(N, R) l’ensemble des suites réelles déﬁnies sur N. 2) Vocabulaire – Sens de variation : soit u une suite réelle et p un entier, on dit que la suite u est : – croissante à partir du rang p lorsque : ∀n ⩾p, un ⩽un+1. – strictement croissante à partir du rang p lorsque : ∀n ⩾p, un < un+1. – décroissante à partir du rang p lorsque : ∀n ⩾p, un+1 ⩽un. – strictement décroissante à partir du rang p lorsque : ∀n ⩾p, un+1 < un. – constante (ou stationnaire) à partir du rang p lorsque : ∀n ⩾p, un+1 = un. – monotone lorsque u est croissante ou bien décroissante. – strictement monotone lorsque u est strictement croissante ou bien strictement décroissante. Étudier le uploads/Litterature/ chap-09 1 .pdf