PROBABILITÉS 2 GIS2A3 DEVOIR MAISON La date limite de rendu du Devoir Maison es

PROBABILITÉS 2 GIS2A3 DEVOIR MAISON La date limite de rendu du Devoir Maison est le 11 mai 2020 à 23h59. La première partie porte sur des notions fondamentales du cours pour la suite de la formation. La seconde partie permet d’aller un peu plus loin. Une attention particulière sera portée à la qualité de la rédaction et à la précision des réponses. Toutes les variables aléatoires sont définies sur un même espace de probabilités (Ω, F, P). L’indicatrice d’un ensemble A est notée IA. Partie 1 (12 points) Exercice 1 : Soit (Xn)n≥1 une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées suivant une loi de Poisson de paramètre 1. Pour tout n ≥1, on note Sn := n X k=1 Xk, Tn := Sn −n √n . 1. Pour tout n ≥1, quelle est la loi de Sn ? Pour tout n ≥1, calculer les quantités E(Tn) et E(T 2 n). 2. Montrer que la suite de variables aléatoires (Tn)n≥1 converge en loi vers une variable aléatoire T∞ dont on donnera la loi. 3. Soit a > 0. On introduit la fonction fa définie, pour tout x ∈R, par fa(x) = min (|x|, a) . Montrer que la fonction fa est continue et bornée sur R. En déduire que E (fa(Tn)) − →E (fa(T∞)) , quand n tend vers +∞. 4. Montrer que, pour tout a > 0 et pour tout n ≥1, on a |E(|Tn|) −E(|T∞|)| ≤E ||Tn| −fa(Tn)| + E ||T∞| −fa(T∞)| + |E (fa(Tn) −fa(T∞))| . 5. Pour toute variable aléatoire X telle que E|X|2 < +∞, montrer que E||X| −fa(X)| ≤E |X|I|X|≥a  ≤ EX2 1 2 P (|X| ≥a) 1 2 . Indication : Utiliser l’égalité |x| −min (|x|, a) = (|x| −a)I|x|>a. 6. En utilisant les questions 3, 4 et 5 ainsi qu’une inégalité de concentration du cours, montrer que E(|Tn|) converge vers E(|T∞|) quand n tend vers +∞. 1 7. (Question bonus +1) : Soit x+ = max(x, 0). En calculant E((T∞)+) et E((Tn)+) et en admettant que E((Tn)+) − →E((T∞)+) quand n tend vers +∞, montrer la formule de Stirling n! ∼ n→+∞nne−n√ 2πn. Partie 2 (8 points) Exercice 2 : Soient f une application continue de [0, 1] dans R et x ∈[0, 1] fixé. Pour tout n ≥1 entier, on note Sx n une variable aléatoire de loi binomiale de paramètres (n, x). 1. Montrer que, pour tout n ≥1, l’application pn, définie, pour tout x ∈[0, 1], par pn(x) = E  f Sx n n  , est un polynôme en x. 2. On rappelle qu’une fonction continue sur [0, 1] est uniformément continue sur [0, 1] : ∀ε > 0 ∃η > 0 ∀x, y ∈[0, 1] |x −y| ≤η ⇒|f(x) −f(y)| ≤ε. En utilisant la continuité uniforme de f, montrer que, pour tout ε > 0, il existe η > 0 tel que pour tout n ≥1 et pour tout x ∈[0, 1], |pn(x) −f(x)| ≤εP  Sx n n −x ≤η  + 2∥f∥∞,[0,1]P  Sx n n −x ≥η  . 3. En utilisant une inégalité de concentration du cours, montrer que, pour tout ε > 0, il existe η > 0 tel que pour tout n ≥1 et pour tout x ∈[0, 1], |pn(x) −f(x)| ≤ε + 2∥f∥∞,[0,1] x(1 −x) nη2 . 4. En déduire que la suite de fonctions (pn)n≥1 converge uniformément sur [0, 1] vers la fonction f. 2 uploads/Litterature/ sujet-dm-gis2a3.pdf

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littérature montrer partie suite fonction continue
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