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HAL Id: hal-02268977 https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-02268977 Submitted on 22 Aug 2019 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés. Entrée dans l’enseignement supérieur : éclairages en didactique des mathématiques Ghislaine Gueudet, Fabrice Vandebrouck To cite this version: Ghislaine Gueudet, Fabrice Vandebrouck. Entrée dans l’enseignement supérieur : éclairages en didac- tique des mathématiques. 2019. hal-02268977 ENTRÉE DANS L’ENSEIGNEMENT SUPÉRIEUR : ÉCLAIRAGES EN DIDACTIQUE DES MATHÉMATIQUES Ghislaine Gueudet CREAD, Université de Brest Fabrice Vandebrouck LDAR, Université Paris Diderot Juillet 2019 1 Ce document s’inscrit dans une série de contributions publiées par le Conseil national d’évaluation du système scolaire (Cnesco) sur la thématique : Post-baccalauréat. Les opinions et arguments exprimés n’engagent que les auteurs de la contribution. Pour citer cet article : Gueudet, G. & Vandebrouck, F. (2019). Entrée dans l’enseignement supérieur : Éclairages en didactique des mathématiques. Cnesco. Disponible sur le site du Cnesco : http ://www.cnesco.fr Publié en juillet 2019 Conseil national d’évaluation du système scolaire Carré Suffren - 31-35 rue de la Fédération 75015 Paris Table des matières I. À propos des difficultés rencontrées par les étudiants débutants et de leurs causes .................5 A. Des contenus abstraits, avec du formalisme, soulevant des difficultés de conceptualisation .......5 1. Advanced mathematical thinking (Pensée mathématique avancée) .....................................5 2. Statut des notions à enseigner .............................................................................................6 B. Des attentes se référant aux pratiques mathématiques des mathématiciens ..............................7 3. Langage, signes et symboles mathématiques .......................................................................9 C. Une différence de cultures institutionnelles entre secondaire et supérieur ............................... 10 1. Un changement de contrat didactique ............................................................................... 10 2. Des programmes et des pratiques pilotés par des exigences institutionnelles différentes .. 11 3. Les difficultés spécifiques dans le cas des non-spécialistes ................................................. 12 D. Les enseignants de l’université, attentes et pratiques ............................................................... 13 1. Une surestimation par les enseignants du supérieur des connaissances disponibles des étudiants ................................................................................................................................... 13 2. Pratiques d’enseignement en mathématiques dans le supérieur ........................................... 17 E. Pratiques des étudiants dans l’enseignement supérieur ............................................................ 19 II. À propos des dispositifs visant à surmonter ces difficultés ...................................................... 22 A. Faire découvrir l’université aux élèves de lycée ..................................................................... 22 1. Les stages Hippocampe ou les stages MathC2+ .................................................................. 22 2. Filles et maths, une équation lumineuse ............................................................................ 22 B. Dispositifs d’aide aux étudiants ................................................................................................. 23 1. Exemple des support centers au Royaume-Uni .................................................................. 23 2. Opération Tremplin à Namur ............................................................................................. 24 3. Accompagnement des primo-entrants en France ............................................................... 24 C. Enseignements s’éloignant des pratiques habituelles ................................................................ 25 1. Ingénieries dédiées à des contenus ciblés .............................................................................. 25 2. Impliquer activement les étudiants et donner du sens aux mathématiques ........................... 26 3. Apports possibles du numérique ........................................................................................... 27 4. Expérimentations à large échelle ........................................................................................... 31 5. Dispositif d’échanges entre enseignants ................................................................................ 33 D. Formation des enseignants du supérieur .................................................................................. 34 3 ANNEXE : Contenus mathématiques et transition secondaire-supérieur ......................................... 36 A. L’analyse ............................................................................................................................... 36 1. Les nombres réels ................................................................................................................. 36 2. Fonctions à la transition lycée-université ............................................................................... 38 3. Les suites numériques ........................................................................................................... 43 4. Le discret et le continu en analyse ......................................................................................... 44 B. L’algèbre linéaire ................................................................................................................... 47 1. Comment l’histoire des mathématiques éclaire la difficulté de l’algèbre linéaire élémentaire. ............................................................................................................................. 47 2. Des pratiques se rapprochant de celles de mathématiciens : nécessité de flexibilité .......... 48 3. Une différence de cultures institutionnelles....................................................................... 49 4. Quels dispositifs, pour l’enseignement de l’algèbre linéaire ? ............................................ 50 C. La logique .............................................................................................................................. 51 Liste des figures Figure 1. Extrait d’un exercice élémentaire sur les matrices. ...............................................................9 Figure 2. Exemple de production d’étudiant de L1 sur un exercice de développements limités ......... 15 Figure 3 . Définition des réels dans Maths Seconde, Nathan (2010) p. 8 ............................................ 37 Figure 4. Définition des réels dans le manuel Hyperbole Seconde (2009) p. 32 .................................. 37 Figure 5. Définition des nombres réels, Math’x Terminale S (2012), Didier, p.471 ............................. 38 Figure 6. Symbole Seconde, Belin, (2010), p. 74 ................................................................................ 40 Figure 7. Math’x Seconde, Didier, (2010), p. 62 ................................................................................. 40 Figure 8. Un travail technique sur les fonctions, Baccalauréat 2017................................................... 41 Figure 9. Un travail dans le registre graphique, Baccalauréat 2017. ................................................... 42 Figure 10. Phare 3e, Hachette, (2008), p. 133. La transition discret-continu non questionnée ............ 45 Figure 11. Transmath TES, Nathan, (2012), p. 74 – On notera la notion de ligne « continue et régulière » ........................................................................................................................................ 45 Figure 12. Productions d’élèves de 1re S mettant en évidence les confusions suites-fonctions .............. 46 4 Introduction La recherche en « Mathematics Education » se penche sur le thème de l’entrée dans l’enseignement supérieur dans de nombreux pays. Nous présentons ici une synthèse de résultats identifiés par ces travaux internationaux. Cette synthèse inclut des travaux menés en France dans le champ de la didactique des mathématiques ; nous ne mentionnons pas en revanche des travaux français plus « pédagogiques », c’est-à-dire moins centrés sur les contenus de savoir. Quelques remarques préliminaires nous semblent nécessaires :  la plupart des travaux que nous considérons traitent de « transition secondaire-supérieur ». Les mathématiques étant enseignées dans le secondaire, beaucoup d’études sur l’entrée à l’université s’attachent à identifier les différences entre secondaire et supérieur ;  il ne s’agit en aucun cas de dire que toute différence est nuisible, des changements -voire des ruptures - entre secondaire et supérieur sont nécessaires ;  les conditions d’un pays à l’autre sont très variables, dans ce texte bref nous ne pouvons pas aborder ces spécificités nationales. La référence principale reste souvent celle des conditions et des pratiques en France. Les recherches sur la transition secondaire-supérieur existent internationalement depuis de nombreuses années. En 1998, De Guzman, Hodgson, Robert et Villani produisent une première synthèse de travaux (présentée lors du colloque international des mathématiciens, ICM) intitulée “Difficulties in the passage from secondary to tertiary education”. Cette synthèse fait le point sur environ 10 années de recherches internationales. Cependant le nombre de travaux a augmenté de manière déterminante surtout à partir des années 2000, en lien avec la massification de l’accès à l’enseignement supérieur. Cette massification entraîne mécaniquement une augmentation des constats de difficultés. Dans le monde anglo-saxon, plusieurs rapports publiés à la fin des années 1990 ou au début des années 2000 visent à attirer l’attention sur les prérequis insuffisants des étudiants entrant à l’université (voir par exemple le rapport intitulé Measuring the mathematics problem, publié au Royaume-Uni en 2000 par le Engineering Council). Selon Lawson et Croft (2018) pour le même test de mathématiques élémentaires posé à l’entrée à l’université de Coventry, les résultats obtenus en 1999 par les étudiants ayant obtenu la note B en mathématiques au A-level (examen de niveau baccalauréat, noté sur 8 lettres dont la meilleure est A) sont sensiblement les mêmes que ceux obtenus en 1991 par les étudiants qui avaient la note F (6e niveau, le moins bon niveau parmi ceux qui permettent tout de même de poursuivre à l’université). L’insuffisance des prérequis n’est cependant pas l’unique raison expliquant les difficultés rencontrées par les étudiants débutants. Les recherches menées depuis 2000 l’ont largement montré : différents types de facteurs sont à l’origine de ces difficultés. La considération de l’un ou l’autre type va également amener la proposition de différents types de dispositifs pour remédier à ces difficultés (Artigue, 2004 ; Gueudet, 2008 ; Thomas et al., 2012 ; Gueudet & Thomas, 2018). Dans cette synthèse nous rendons compte dans une première partie de travaux qui se sont attachés à l’analyse des causes des difficultés. Cette partie est donc structurée en fonction des différents types de causes retenus. Dans une seconde partie, nous présentons différents types de dispositifs qui ont été proposés et testés dans l’objectif de remédier à ces difficultés. Dans ces deux parties nous n’entrons pas dans le détail de contenus mathématiques ; nous présentons en annexe des exemples de travaux centrés sur de tels contenus. 5 I. À propos des difficultés rencontrées par les étudiants débutants et de leurs causes A. Des contenus abstraits, avec du formalisme, soulevant des difficultés de conceptualisation Un premier type de cause identifié par de nombreux chercheurs au niveau international, pour les difficultés rencontrées par les étudiants débutant à l’université, peut se formuler de manière très simple : les étudiants ont des difficultés parce les contenus enseignés à l’université sont plus difficiles que ceux du secondaire. Il s’agit évidemment de dépasser ce constat, en approfondissant ce que signifie « difficile » dans ce contexte (en effet le constat d’accroissement de la difficulté peut être fait chaque année, et ne correspond pas forcément à une rupture). Les auteurs qui ont travaillé à l’analyse de ces difficultés nouvelles ont pointé des changements très sensibles dans le degré d’abstraction des concepts enseignés et des tâches proposées. Par exemple, à l’université les étudiants vont uploads/Litterature/ cnesco-post-baccalaureat-gueudet-vandebrouck-pdf.pdf