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Université Cadi-Ayyad Module Analyse 3 Faculté des Sciences Semlalia Filière SM

Université Cadi-Ayyad Module Analyse 3 Faculté des Sciences Semlalia Filière SMP Département de Mathématiques 2021-2022 Controle d'Analyse 3 ∗∗Durée : 1h.30 ∗∗ Nom : Prénom : Note Numéro de table : Numéro apogée : EXERCICE 1 ( 5 pts) Soit fn la fonction dé nie sur R par : fn(x) = nx4 + α nx2 + 1 pour α ∈R 1) Montrer que la suite de fonctions (fn) converge simplement vers une fonction f sur R. (déterminer f) ....................................................................................................................................................... lim n→+∞fn(x) = f(x) =    x2, pour x ̸= 0 α, pour x = 0 La suite de fonction (fn) converge Simplement sur I = [0, +∞[ vers la fonction f. ....................................................................................................................................................... 2) En supposant que α ̸= 0, étudier la convergence uniforme de la suite de fonctions (fn) sur R. ............................................................................................................. Les fonctions fn sont continues sur R et si α ̸= 0, la fonction f n'est pas continue sur R alors la suite de fonctions (fn) ne converge pas uniformément sur l'intervalle R. ....................................................................................................................................................... 3) On suppose que : α = 0 donc fn(x) = nx4 nx2+1. (i) Déterminer la limite : lim n→+∞un avec un = Sup {|fn(x) −f(x)|, x ∈R} ....................................................................................................................................................... ∀x ∈R, 0 ≤ϕn(x) = |fn(x) −f(x)| = x2 1+nx2 ≤1 n, donc lim n→+∞un = lim n→+∞Sup {|fn(x) −f(x)|, x ∈R} = 0 ....................................................................................................................................................... (ii) Étudier la convergence uniforme de la suite de fonctions (fn) sur R. ....................................................................................................................................................... Comme limn→+∞un = 0 alors La suite de fonctions (fn) converge uniformément sur l'intervalle R. ....................................................................................................................................................... 2 (iii) Déterminer : lim n→+∞ Z 1 −1 fn(x)dx ....................................................................................................................................................... Comme la suite de fonctions (fn) converge uniformément vers f sur R en particulier sur l'intervalle [−1, 1] alors : lim n→+∞ Z 1 −1 fn(x)dx = Z 1 −1 lim n→+∞fn(x)dx = Z 1 −1 f(x)dx = 2 3 ....................................................................................................................................................... ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ EXERCICE 2 ( 5 pts) 1) Quelle est la nature de la série numérique suivante (P vn) avec : vn = 1 −cos( 1 n) (Justi er votre réponse). ................................................................................................................................................... Nous avons : vn > 0 et limn→+∞vn 1 n2 = 1 2 ................................. et comme la série numérique (P 1 n2 ) converge alors la série numérique (P vn) converge. ................................................................................................................................................... 2) Soit, pour β ∈] −π 2 , π 2 [, la suite numérique (wn) avec : wn = tg2n(β) n2 (i) Déterminer la limite suivante : λ = lim n→+∞ wn+1 wn ................................................................................................................................................... λ = lim n→+∞ wn+1 wn = lim n→+∞( n n + 1)2tg2(β) = tg2(β) ................................................................................................................................................... (ii) Pour quelles valeurs de β ∈] −π 2 , π 2 [, la série numérique (P wn) converge ? ................................................................................................................................................... * Si λ = 1 ⇒tg(β) = ±1 ⇒vn = 1 n2 alors la série numérique (P wn) converge. * Si λ < 1 ⇒tg(β) ∈] −1, 1[ alors la série numérique (P wn) converge. * Si λ > 1 ⇒tg(β) / ∈] −1, 1[ alors la série numérique (P wn) diverge. Par conséquent la série numérique (P wn) converge si et seulement si tg(β) ∈ [−1, 1]. ................................... Finalement la série numérique (P wn) converge si et seulement si tg(β) ∈[−1, 1] si et seulement si (β ∈[−π 4 , π 4 ]) ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ 3 EXERCICE 3 ( 5 pts) Soit, pour θ ∈R, la suite de fonctions (hn) dé nies sur I = [0, +∞[ par : hn(x) = (−1)n nθ + x 1) Déterminer : zn = Sup {|hn(x)|, x ∈[0, +∞[} ....................................................................................................................................................... Si on ψn(x) = |hn(x)| = 1 nθ+x ⇒ψ′ n(x) = −1 (nθ+x)2 ≤0 sur l'intervalle I = [0, +∞[, alors la fonction ψn est décroissante sur l'intervalle I = [0, +∞[ donc zn = Sup {|hn(x)|, x ∈[0, +∞[} = |hn(0)| = 1 nθ ....................................................................................................................................................... 2) Pour quelle valeurs de θ, la suite de fonctions (hn) converge uniformément sur l'in- tervalle I = [0, +∞[ vers la fonction nulle ? ....................................................................................................................................................... La suite de fonctions (hn) converge uniformément sur l'intervalle I = [0, +∞[ vers la fonction nulle si et seulement si lim zn = 0 si et seulement si (θ > 0). ....................................................................................................................................................... 3) Pour quelle valeurs de θ, la série de fonctions (P hn) converge normalement sur l'in- tervalle I = [0, +∞[ ? ....................................................................................................................................................... ( X hn) converge normalement sur [0, +∞[ si et seulement si ( X zn) converge si et seulement si (θ > 1) ....................................................................................................................................................... 4) Pour quelle valeurs de θ, la série de fonctions (P hn) converge uniformément sur l'intervalle I = [0, +∞[ ? ....................................................................................................................................................... La série de fonctions (P hn) est alternée, donc on peut utiliser le critere de Leibnitz : * La suite de fonctions (|hn|) converge uniformément vers la fonction nulle sur l'inter- valle I = [0, +∞[ si et seulement si limn→+∞zn = 0 si et seulement si (θ > 0). ........................................ * Pour x ∈[0, +∞[ et θ > 0, la suite numérique (|hn(x)|) est dércoissante (|hn+1(x)| ≤ |hn(x)|). Alors ( X hn) converge uniformement sur [0, +∞[ si et seulement si (θ > 0) ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ 4 EXERCICE 4 ( 6 pts) 1) Soit, pour (a, b) ∈R2, la fonction ga,b dé nie sur I =]0, 2[ par : ga,b(t) = 1 ta(2 −t)b (i) Déterminer les limites suivantes : L1 = lim t→0+ taga,b(t) et L2 = lim t→2−(2 −t)bga,b(t) ....................................................................................................................................................... L1 = lim t→0+ taga,b(t) = 1 2b et L2 = lim t→2−(2 −t)bga,b(t) = 1 2a ....................................................................................................................................................... (ii) Pour quelles valeurs de a, l'intégrale généralisée : Ja,b = R 1 0 ga,b(t)dt converge ? ....................................................................................................................................................... Etudions l'intégrale généralisée Ja,b = R 1 0 dt ta(2−t)b , la fonction ga,b(t) = 1 ta(2−t)b est localement intégrable, positive sur ]0, 1] et L1 = 1 2b alors : Ja,b = Z 1 0 dt ta(2 −t)b converge si et seulement si Z 1 0 dt ta converge si et seulement si (a < 1) ....................................................................................................................................................... (iii) Pour quelles valeurs de b, l'intégrale généralisée : Ka,b = R 2 1 ga,b(t)dt converge ? ....................................................................................................................................................... Etudions l'intégrale généralisée ka,b = R 2 1 dt ta(2−t)b , la fonction ga,b(t) = 1 ta(2−t)b est localement intégrable, positive sur [1, 2[ et L2 = 1 2a alors : ka,b = Z 2 1 dt ta(2 −t)b converge si et seulement si Z 2 1 dt (2 −t)b converge si et seulement si (b < 1) ....................................................................................................................................................... (iv) Pour quelles valeurs de a et b, l'intégrale généralisée : Ia,b = R 2 0 dt ta(2−t)b = R 2 0 ga,b(t)dt converge ? ....................................................................................................................................................... Finalement Ia,b = Ja,b+Ka,b converge si et seulement si Ja,b et Ka,b convergent si et seulement si (a < 1 et b < 1) ....................................................................................................................................................... 2) Quelle est la nature de l'intégrale généralisée A = R +∞ 1 cos(t2)dt (Justi er votre ré- ponse). ....................................................................................................................................................... Remarquons que F(t) = cos(t2) = (2tcos(t2))( 1 2t) = f(t)g(t) est localement int grable sur [1, +∞[ et par application du critere d'Abel avec : * g(t) = 1 2t décroissante et tend vers zéro a l'in ni et * f(t) = 2tcos(t2) on a :∀(x, y) ∈[1, +∞[, | R x y f(t)dt| ≤2, on conclue que l'intégrale généralisée A = R +∞ 1 cos(t2)dt converge. Autre methode : Avec le chg de Variable y = t2 ⇒dt = dy 2√y, l'intégrale généralisée de- vient A = R +∞ 1 cos(y) dy 2√y et par application du critere d'Abel avec : * g(y) = 1 2√y décroissante et tend vers zéro a l'in ni et * f(y) = cos(y) on a :∀(x, y) ∈[1, +∞[, | R x y f(t)dt| ≤2, on conclue que l'intégrale généralisée A = R +∞ 1 cos(t2)dt converge. ....................................................................................................................................................... uploads/Litterature/ correction-controle-analyse-3-fev-2022.pdf