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Universit´ e Cadi Ayyad Ann´ ee Universitaire 2009-2010 Facult´ e des Sciences

Universit´ e Cadi Ayyad Ann´ ee Universitaire 2009-2010 Facult´ e des Sciences D´ epartement de Math´ ematiques Semlalia, Marrakech SMA-S5 Contrˆ ole 1 de Topologie Dur´ ee : 3h Question de cours. D´ emontrer le th´ eor` eme de Heine suivant. Soit (E, d) et (F, δ) deux espaces m´ etriques. Si E est compact alors toute fonction continue de E dans F est uniform´ ement continue sur E. Exercice 1. Soit f une application d’un ensemble X dans un espace m´ etrique complet (Y, δ). Pour tout (x, x′) ∈X2, on pose : d(x, x′) = δ(f(x), f(x′)). (a) Donner une condition n´ ecessaire et suﬃsante sur f pour que d soit une m´ etrique sur X. (b) On suppose que (X, d) espace m´ etrique. Montrer que X est complet si et seule- ment si f(X) est un ferm´ e de Y. Exercice 2. Soit (E, d) un espace m´ etrique. (a) Soit A un ouvert de E et B une partie quelconque de E. Montrer que A ∩B ⊂A ∩B. (b) Soient D1 et D2 deux parties denses dans E. Montrer que si D1 est un ouvert de E alors l’intersection D1 ∩D2 est dense dans E. Exercice 3. Soit f : E →F une application d’un espace m´ etrique compact E dans un evn (F, ∥. ∥). On suppose que pour tout x ∈E, il existe un voisinage Vx de x sur lequel fest born´ ee (on dit alors que f est localement born´ ee ). Montrer que la fonction f est born´ ee sur E. Exercice 4. Soit E = C 1([0, 1], R) muni de la norme : N(f) =∥f ∥∞+ ∥f ′ ∥∞. (a) Montrer que les normes N et ∥. ∥∞ne sont pas ´ equivalentes. (b) Montrer que (E, N) est complet. Exercice 5. (a) Montrer que dans un espace m´ etrique E, si une suite (an) →a ∈E, alors l’ensemble K = {an : n ∈N} ∪{a} est une partie compacte de E. exosup.com exosup.com page facebook page facebook 2 Contrˆ ole Topologie 2009-2010 (b) Applications : Soit (X, d) et (Y, δ) deux espaces m´ etriques. (i) Soit (fn) une suite d’applications continues de X dans Y. On suppose qu’il existe une application f : X →Y telle que pour tout compact K de X, on a : sup a∈K δ(fn(a), f(a)) →0 quand n →+∞. Montrer que l’application f est continue sur X. (ii) Soit g : X →Y une application continue telle que pour tout compact K de Y , l’image r´ eciproque g−1(K) est un compact de X. Montrer que l’application g est ferm´ ee c’est ` a dire : l’image de tout ferm´ e F de X est un ferm´ e de Y. Exercice 6. Soit K un compact convexe non vide d’un evn E. Soit f : K →K 1−lipschitzienne. On ﬁxe a ∈K, et on consid` ere la suite de fonctions (fn) d´ eﬁnies sur K par : fn(x) = (1 −1/n)f(x) + (1/n)a. (a) Montrer que chaque fn est une application de K dans K et admet un unique point ﬁxe xn. (b) Montrer que, pour tout x ∈K et n ∈N∗, ∥x −f(x) ∥≤∥x −xn ∥+ ∥fn(xn) −f(xn) ∥+ ∥f(xn) −f(x) ∥ et en d´ eduire que la fonction f admet au moins un point ﬁxe. exosup.com exosup.com page facebook page facebook FSSM SMA S5 3 Corrig´ e Question de cours. Raisonnement par l’absurde : on suppose que la fonction f n’est pas uniform´ ement continue sur E. On a donc la n´ egation de l’´ enonc´ e suivant : ∀ε > 0, ∃η > 0, ∀(x, y) ∈E2, si d(x, y) < η alors δ(f(x), f(y)) ≤ε; donc ∃ε > 0, ∀n ∈N∗, ∃(xn, yn) ∈E2 tel que d(xn, yn) < 1/n et δ(f(xn), f(yn)) > ε. La suite (xn) est une suite d’´ el´ ements du compact E, donc par Bolzano-Weierstrass on peut en extraire une sous suite (xϕ(n)) telle que : xϕ(n) →x ∈E. En consid´ erant maintenant la suite (yϕ(n)) d’´ el´ ements du compact K, alors par Bolzano- Weierstrass on peut en extraire une sous suite (yϕ(ψ(n))) telle que : yϕ(ψ(n)) →y ∈E. Par hypoth` ese, on a d(xϕ(ψ(n)), yϕ(ψ(n))) →0, donc par la continuit´ e de l’application distance : (u, v) →d(u, v), on obtient par passage ` a la limite : d(x, y) = 0 et ainsi x = y. Par ailleurs, on a ∀n ∈N∗, δ(f(xϕ(ψ(n))), f(yϕ(ψ(n)))) > ε, donc par la continuit´ e de l’application : (u, v) →δ(f(u), f(v)), (comme compos´ ee de deux fonctions continues), on a par passage ` a la limite : δ(f(x), f(y)) ≥ε. Ceci est absurde puisque δ(f(x), f(y)) = 0 car x = y. Corrig´ e Exercice 1. (a) Pour que d soit une m´ etrique sur X, il faut et il suﬃt que d v´ eriﬁe les trois assertions (i) (ii) et (iii) suivantes qu’on va v´ eriﬁer simultan´ ement. (i) Pour tous x, x′ ∈X, d(x, x′) = 0 si et seulement si x = x′. Soit x, x′ ∈X. On voit d’abord que si x = x′, alors d(x, x′) = 0. D’un autre cˆ ot´ e, on a d(x, x′) = 0 ⇐ ⇒f(x) = f(x′) (car δ est une distance sur Y ). Ainsi pour avoir x = x′, il faut et il suﬃt que la fonction f soit injective. Conclusion 1 : la condition (i) est satisfaite si et seulement si f est injective. exosup.com exosup.com page facebook page facebook 4 Contrˆ ole Topologie 2009-2010 (ii) La sym´ etrie : Pour tous x, x′ ∈X, d(x, x′) = d(x′, x). Soit x, x′ ∈X. On a : d(x, x′) = δ(f(x), f(x′)) = δ(f(x′), f(x))( car la distance δ v´ eriﬁe la sym´ etrie) = d(x′, x). Conclusion 2 : la condition (ii) est satisfaite. (iii) L’in´ egalit´ e triangulaire : Pour tous x, x′, x′′ ∈X, d(x, x′′) ≤d(x, x′) + d(x′, x′′). Soit x, x′, x′′ ∈X. On a d(x, x′′) = δ(f(x), f(x′′)) ≤ δ(f(x), f(x′)) + δ(f(x′), f(x′′)) car la distance δ v´ eriﬁe l’in´ egalit´ e triangulaire. Donc d(x, x′′) ≤d(x, x′) + d(x′, x′′). Conclusion 3 : la condition (iii) est satisfaite. Conclusion g´ en´ erale : Pour que d soit une m´ etrique sur X, il faut et il suﬃt que f soit injective. (b) On suppose que l’espace X est complet. Montrons que f(X) est un ferm´ e de Y. Soit (yn) = (f(xn)) une suite d’´ el´ ements de f(X) telle que yn →y ∈Y. Montrons que y ∈f(X), c’est ` a dire : il existe x ∈X : y = f(x). La suite (yn) est convergente, elle est donc de Cauchy : ∀ε > 0, ∃Nε > 0, ∀n, m > Nε, δ(yn, ym) < ε; Comme δ(yn, ym) = d(xn, xm), la suite (xn) est donc de Cauchy dans l’espace complet X, elle est donc convergente dans X. Posons x = lim xn. on a δ(f(xn), f(x)) = d(xn, x) →0, donc f(xn) →f(x) dans Y. Par unicit´ e de la limite, on a y = f(x). R´ eciproquement : On suppose que f(X) est un ferm´ e de Y. Montrons que l’espace m´ etrique (X, d) est complet. Soit (xn) une suite de Cauchy dans X. L’´ ecriture : d(xn, xm) = δ(f(xn), f(xm)) montre que la suite (f(xn)) est de Cauchy dans Y. Et comme l’espace (Y, δ) est complet, on a f(xn) →y ∈Y. exosup.com exosup.com page facebook page facebook FSSM SMA S5 5 Or la suite (f(xn)) est une suite d’´ el´ ements du ferm´ e f(X) donc sa limite y est un ´ el´ ement de f(X), c’est ` a dire : ∃x ∈X, y = f(x). On obtient que xn →x puisque d(xn, x) = δ(f(xn), f(x)) →0. Corrig´ e Exercice 2. (a) Soit a ∈A ∩B. Soit V un voisinage ouvert de a, Montrons que V ∩A ∩B ̸= ∅. Comme V ∩A est un ouvert contenant a et a ∈B, alors (V ∩A) ∩B ̸= ∅. (b) Soit U un ouvert de E, non vide. Comme D1 = E, l’intersection U ∩D1 est un ouvert de E, non vide. Et comme D2 = E, l’intersection (U ∩D1) ∩D2 ̸= ∅. Corrig´ e Exercice 3. Hypoth` ese : Pour tout x ∈E, il existe Ux un voisinage ouvert de x et il existe un r´ eel Mx tels que ∀a ∈Ux, ∥f(a) ∥≤Mx. La famille (Ux)x∈E est un recouvrement ouvert du compact E, on peut donc en extraire un sous recouvrement ﬁni : E = [ i=1,...,n Uxi, o` u les xi sont des points de E. En posant M = maxi=1,...,n Mxi, on obtient ainsi ∀a ∈E, f(a) ≤M. Corrig´ e Exercice 4. (a) Consid´ erons la suite fn d’´ el´ ements de E d´ eﬁnis pour tout x ∈[0, 1] par : fn(x) = xn. On a N(fn) = 1 + n et ∥fn ∥∞= 1. La suite (N(fn)/ ∥fn uploads/Litterature/ controle-1-corrige.pdf