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Université de Caen - UFR de Sciences Les distributions G.BINET MdC 61 MathsSign

Université de Caen - UFR de Sciences Les distributions G.BINET MdC 61 MathsSignal06     UNE INTRODUCTION A LA THEORIE DES DISTRIBUTIONS Université de Caen - UFR de Sciences Les distributions G.BINET MdC 61 MathsSignal06     UNE INTRODUCTION A LA THEORIE DES DISTRIBUTIONS .........................................1 I. INSUFFISANCE DES FONCTIONS : L’IMPULSION : ...............................................................2 Quel est le problème ? ......................................................................................................................2 La solution des physiciens : ..............................................................................................................2 Une nouvelle dérivation ?.................................................................................................................3 II. PRINCIPE DES DISTRIBUTIONS.................................................................................................3 II.1. L’IDEE DE BASE :............................................................................................................................3 II.2. ESPACE D DES FONCTIONS TEST : ...................................................................................................4 Fonction test : ...................................................................................................................................4 Construction de l’espace D : ............................................................................................................4 Théorème 1 : .....................................................................................................................................4 Théorème 2: ......................................................................................................................................5 II.3. DEFINITION INDIRECTE D’UNE FONCTION : .....................................................................................5 Théorème : ........................................................................................................................................5 Nouvelle définition d’une fonction :..................................................................................................5 II.4. DEFINITION DES DISTRIBUTIONS :...................................................................................................6 Définition :........................................................................................................................................6 Distribution régulière :.....................................................................................................................6 Distribution singulière :....................................................................................................................6 Ensemble des distributions : .............................................................................................................6 Causalité :.........................................................................................................................................6 II.5. EXEMPLES DE DISTRIBUTIONS : ......................................................................................................7 Echelon d’Heaviside :.......................................................................................................................7 Constante K : ....................................................................................................................................7 Distribution de Dirac : δ...................................................................................................................7 Peigne de Dirac :..............................................................................................................................8 Signal discret : ..................................................................................................................................8 II.6. PROPRIETES ELEMENTAIRES :..............................................................................................8 Somme :.............................................................................................................................................8 Translation :......................................................................................................................................9 Distribution périodique : ..................................................................................................................9 Facteur d’échelle :............................................................................................................................9 Distribution paires ou impaires :....................................................................................................10 Produit d’une distribution par une fonction C∞ :............................................................................10 Autres propriétés : ..........................................................................................................................11 III. DERIVATION, CONVERGENCE, CONVOLUTION DANS D’.............................................11 III.1. DERIVATION................................................................................................................................11 Définition :......................................................................................................................................11 Dérivée au sens des distributions dans le cas des fonctions : ........................................................12 Exemples :.......................................................................................................................................12 Fonction ayant des discontinuités : ................................................................................................12 Dérivée d’ordre n d’une fonction Cn par morceaux :.....................................................................13 Propriétés de la dérivation :...........................................................................................................13 Dérivées de la distribution de Dirac : ............................................................................................14 Université de Caen - UFR de Sciences Les distributions G.BINET MdC 61 MathsSignal06 III.2. CONVERGENCES DANS D’ :.........................................................................................................14 Définition pour une distribution régulière : ...................................................................................14 Généralisation à toute distribution :...............................................................................................15 Exemples :.......................................................................................................................................15 Convergence d’une famille de fonctions :.......................................................................................16 théorèmes :......................................................................................................................................16 Propriétés de convergence dans D’ :..............................................................................................16 III.3. APPLICATION DE LA CONVERGENCE : FORMULE DE POISSON ......................................................17 III.4. PRODUIT DE CONVOLUTION :.......................................................................................................18 Condition d’existence : ...................................................................................................................18 Définition :......................................................................................................................................18 Commutativité :...............................................................................................................................19 Cas important de la distribution de Dirac :....................................................................................19 Autocorrélation :.............................................................................................................................19 Propriétés : .....................................................................................................................................19 Autres propriétésdu produit de convolution :.................................................................................19 Conséquences : ...............................................................................................................................20 Associativité :..................................................................................................................................20 III.5. CONVOLUTION DISCRETE :..........................................................................................................21 Théorèmes d’existence :..................................................................................................................21 Corrélation discrète :......................................................................................................................22 IV. LES DISTRIBUTIONS ET LES TRANSFORMEES.................................................................22 IV.1. TRANSFORMEE DE FOURIER :......................................................................................................22 Cas des fonctions :..........................................................................................................................22 Rappels sur la transformée de Fourier des fonctions :...................................................................23 Problème pour les distributions :....................................................................................................23 Distributions tempérées, définitions :.............................................................................................23 La transformée de Fourier au sens des distributions:....................................................................24 En bref : ..........................................................................................................................................25 Quelques distributions tempérées :.................................................................................................25 Dérivée :..........................................................................................................................................26 Polynômes :.....................................................................................................................................26 Convolution :...................................................................................................................................26 IV.2. PROPRIETES DE LA TRANSFORMEE DE FOURIER DANS S’(R) :......................................................26 Dérivation de la transformée de Fourier :......................................................................................26 Transformée de Fourier de la dérivée :..........................................................................................26 Retard : ...........................................................................................................................................26 Produit de convolution : .................................................................................................................27 Symétrie : ........................................................................................................................................27 IV.3. LES TRANSFORMEES DE FOURIER USUELLES : .............................................................................27 Distribution de- Dirac : ..................................................................................................................27 Constante k ∈ C :............................................................................................................................27 Exponentielle imaginaire (déphaseur) : .........................................................................................28 Peigne de Dirac :............................................................................................................................28 Fonction signe : Sign(t)...................................................................................................................28 Echelon d’Heaviside : Y(t)..............................................................................................................29 Signaux périodiques :......................................................................................................................30 Signaux discrets :............................................................................................................................30 Reconstruction de Shannon : ..........................................................................................................30 Université de Caen - UFR de Sciences Les distributions G.BINET MdC 61 MathsSignal06 IV.4. TRANSFORMEE DE LAPLACE .......................................................................................................31 Définition :......................................................................................................................................31 Fonction causale :...........................................................................................................................31 Produit de convolution : .................................................................................................................32 Théorème du retard : ......................................................................................................................32 Théorème de la dérivée :.................................................................................................................32 Fonction discontinue : ....................................................................................................................32 ➅ ➅ ➅ ➅ EN RESUME ....................................................................................................................................33 I. INSUFFISANCE DES FONCTIONS : L’IMPULSION : .............................................................33 II. PRINCIPE DES DISTRIBUTIONS...............................................................................................33 III. DERIVATION................................................................................................................................35 IV. CONVERGENCES DANS D’ .......................................................................................................35 V. PRODUIT DE CONVOLUTION...................................................................................................35 La représentation des fonctions périodiques :................................................................................36 La convolution discrète :.................................................................................................................36 VI. TRANSFORMEE DE FOURIER.................................................................................................37 VII. TRANSFORMEE DE LAPLACE...............................................................................................38 Définition :......................................................................................................................................39 Les propriétés : ...............................................................................................................................39 ➅ ➅ ➅ ➅ EXERCICES.....................................................................................................................................40 Université de Caen - UFR de Sciences Les distributions G.BINET MdC 61 MathsSignal06 1 Dans le domaine des sciences physiques il a longtemps été utilisé une "fonction" bien particulière : l'impulsion de Dirac. Elle constituait le cas limite d'un certain nombre de signaux qui n'existaient que pendant un intervalle de temps très bref, à la limite nul, mais qui étaient capable de fournir une énergie à un système pour le mettre en action. Ces signaux parfois appelés percussionnels ne pouvaient être décrits par une fonction analytique classique et posaient un gros problème mathématique. La solution proposée par Dirac avait le bon goût de la simplicité mais restait un non sens mathématique qui permettait quand même de travailler en oubliant les contradictions qu'elle contenait. Le travail des mathématiciens sur ce sujet à aboutit à proposer la théorie des distributions. Elle a été construite en 1947 par le mathématicien français Laurent Schwartz ce qui lui a valu la médaille Field, l’équivalent du prix Nobel dans les autres disciplines scientifiques. Nous pouvons la considérer comme une généralisation de la notion de fonction qui permettra d’englober l’impulsion mais aussi un certain nombre d’autres fonctions généralisées (valeur principale, ….) et elle amène à une définition nouvelle (généralisée) de la dérivation. Cette théorie à ensuite été systématiquement utilisée dans le domaine du numérique ou plutôt des signaux discrets. Dans ce domaine, l'impulsion δ(t) devient un objet mathématique en soit, permettant de modéliser des signaux sans qu'il soit question de passage à la limite de signaux réels comme c'était le cas pour les travaux de Dirac. Dans une première approche, cette théorie semble très lourde. Ceci est du au fait qu’elle reprend et généralise beaucoup de notions essentielles en traitement de signal et utilise le concept de fonctionnelle. Pour le traitement du signal nous n’avons besoin que de quelques résultats simples essentiellement sur la distribution de Dirac. Ce cours est en deux versions : une version la plus possible exposant la théorie et démontrant les résultats et une version résumée qui ne fait que rappeler les principes et les résultats essentiels. Il est peut être suffisant de commencer par le résumé et d’aller prendre au fur et à mesure les démonstrations et explications dans la version la plus complète. Pour les exercices, ils sont délibérément orientés traitement du signal c'est-à-dire vers l’utilisation des résultats et non vers les démonstrations intrinsèques à la théorie. Université de Caen - UFR de Sciences Les distributions G.BINET MdC 61 MathsSignal06 2 I. INSUFFISANCE DES FONCTIONS : L’IMPULSION : Quel est le problème ? Prenons l’exemple d’une masse m répartie sur un axe Ox entre –h et +h (nous aurions pu prendre des charges électriques, masses magnétiques, un effort bref, l’énergie d’un signal échantillonné,…..). Il lui est associée une densité de répartition dh telle que : ∫ + = h h - h dx ) x ( d m . D’une manière générale la densité dh possède trois propriétés : • dh(x) ≥ 0 ∀x ∈ R. • dh(x) = 0 si |x| > h. • ∫ ℜ = dx ) x ( d m h Si nous comprimons la masse en x = 0 c’est à dire h → 0 que deviennent ces propriétés ? • dh(x) ≥ 0 ∀x ∈ R. • dh(x) = 0 si x ≠ 0. • ∫ ℜ = dx ) x ( d m h La troisième propriété est celle d’une intégrale de Rieman d’une fonction nulle presque partout et le résultat est théoriquement nul. Cette contradiction est contournée en affirmant que, en x =0, dh a une valeur infinie mais cela reste toujours une contradiction pour la théorie de l’intégration au sens de Rieman. La solution des physiciens : Cette solution a été introduite en 1920 par le physicien Dirac par création de la fonction impulsion δ(t) qui devait répondre aux deux exigences : 1. δ(t) = 0 pour t ≠ 0 et δ(t) = +∞ pour t = 0. 2. 1 dt (t) = δ ∫ ℜ . Au prix d’une contradiction pour la propriété 2 qui, comme nous l’avons déjà indiqué, n’est pas conforme à la théorie de l’intégration, cette « fonction » permettait de prendre en compte un grand nombre de problèmes de cas limites du domaine de la physique. Reste un autre problème pour cette « fonction » : peut-on calculer ∫ ℜ δ dt x(t) (t) où x(t) est une fonction classique intégrable et dérivable. Université de Caen - UFR de Sciences Les distributions G.BINET MdC 61 MathsSignal06 3 En intégrant par parties : [ ] ∫ ∫ ℜ ℜ ℜ = δ dt (t) x' u(t) - x(t) u(t) dt x(t) (t) . Cela nécessite de définir une primitive pour δ(t) soit : ∫ ∞ δ = t - dv (v) ) t ( u ce qui compte tenu des propriétés attribuées à δ(t) défini une nouvelle « fonction » : 1. u(t) = 1 pour t > 0. 2. u(t) = 0 pour t < 0. 3. u(t) non définie (mais nécessairement bornée) pour t = 0. Cette fonction est la fonction échelon unité ou échelon d’Heaviside. Cette fonction constitue aussi un outil intéressant qui a permis de prendre en compte un grand nombre de cas limites de la physique. Une nouvelle dérivation ? La nouvelle fonction échelon d’Heaviside étant bornée peut paraître plus sympathique que la « fonction » impulsion mais elle pose aussi pas mal de difficultés . La principale est celle de uploads/Litterature/ maths-signal-06.pdf