UNIVERSITÉ DE N'DJAMENA FACULTÉ DES SCIENCES EXACTES ET APPLIQUÉES DÉPARTEMENT

UNIVERSITÉ DE N'DJAMENA FACULTÉ DES SCIENCES EXACTES ET APPLIQUÉES DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES ENSEIGNEMENTS 2019-2020 1. Informatique, FSEA, L1, Concepts algébriques fondamentaux, CT 30h, TD 30h 2. L3 Maths, FSEA, Groupes-anneaux-corps, CT 45h, TD 45h 3. MPI, Université UF , algèbre CT 40h, TD 30h 1 UNIVERSITÉ N'DJAMÉNA 2019-2020 FSEA/Département de Mathématiques UE Groupes-Anneaux-Corps L3 MATHS Dr Patience DEHAINSALA Travaux dirigés Théorie des groupes 1. Soit · une loi associative sur un ensemble G possédant un neutre à gauche e (i.e., ex = x pour tout x ∈G) et tel que tout élément x possède un inverse à gauche x′ pour e (i.e., x′x = e). Montrer que (G, ·) est un groupe. (Indic : commencer par montrer que xx′ = e). 2. On munit R2 de la loi : (x, y) ⋆(x′, y′) = (xx′ −yy′, xy′ + x′y). (a) Montrer que c'est une loi de groupe sur R2 \ {(0, 0)}, et que la courbe d'équation x2 + y2 = 1 est un sous-groupe de R2 \ {(0, 0)}, que l'on notera C. (b) Montrer que f : (x, y) →x + iy est un isomorphisme de groupes de R2 \ {(0, 0)} dans U(C), envoyant bijectivement C sur le sous-groupe des nombres complexes de module 1. (c) Montrer que θ →(cos(θ), sin(θ)) est un morphisme surjectif de groupes de R dans C. Quel est son noyau ? 3. Soient G un groupe et A et B deux sous-groupes de G. Montrer que A ∪B est un sous-groupe de G si et seulement si A ⊂B ou B ⊂A. 4. Soit G un groupe. Montrer que si x2 = e pour tout x ∈G, alors G est un groupe abélien. 5. Montrer que les groupes (R, +) et (R∗ +, ×) sont isomorphes. 6. Soient G un groupe et H un sous-groupe de G. (a) Montrer que H2 = {x · y : x ∈H, y ∈H} est égal à H. (b) Soit K une partie nie non vide de G telle que K2 ⊂K. Montrer que K est un sous-groupe de G. 7. Montrer que les sous-groupes de Z sont de la forme nZ avec n ∈N. 8. Soit σ =  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 6 4 7 9 8 1 2 10 5  ∈S10. (a) Décomposer σ en produit de cycles disjoints et en produit de transpositions. (b) Déterminer la signature de σ. Calculer σ2020. 9. Soit Sn le groupe des permutations de n éléments, n ≥3. Déterminer le sous-groupe de Sn engendré par les permutations : σ =  1 2 · · · n −1 n 3 6 · · · n 1  et ρ =  1 2 · · · n −1 n n n −1 · · · 2 1  . En déduire que pour n ≥3, le groupe diédral est isomorphe à un sous-groupe de Sn. 10. Soit p un nombre premier. 2 (a) Montrer qu'un groupe de cardinal p2 est commutatif. (b) Combien d'éléments d'ordre p y a-t-il dans un groupe de cardinal p ? Et dans un groupe de cardinal p2 ? 11. Montrer que le produit de deux groupes cycliques est cyclique si et seulement si leurs ordres sont premiers entre eux. 12. Soient T =  a b 0 c  : a, c ∈R \ {0} , b ∈R  et U =  1 b 0 1  : b ∈R  . (a) Montrer que T est un sous-groupe de GL2(R). (b) Montrer que U est un sous-groupe distingué de T. 13. Soit G le sous-groupe de GL2(R) engendré par les matrices A =  −1 1 1 1  et B =  −1 0 0 1  . (a) Soit H le sous-groupe de G engendré par AB. Calculer |H|. (b) Montrer que H est distingué dans G. Calculer le quotient G/H ; en déduire |G|. 14. Déterminer tous les sous-groupes de Z/12Z. 15. Décrire le groupe-quotient R∗/R∗ + et montrer qu'il est isomorphe à Z/2Z. 16. Soient G un groupe ni, H et K deux sous-groupes de G. On suppose que H et K sont distingués et H ∩K = {e}. Montrer que HK est un sous-groupe distingué de G d'ordre |H| × |K|. 17. Soit G un groupe d'ordre 55, possédant deux groupes distingués H et K d'ordre 5 et 11 respectivement. Montrer que G est isomorphe à Z/55Z. 18. On considère un groupe G d'ordre 2n. Montrer que tout sous-groupe H de G d'ordre n est normal. Montrer que s'il existe dans G deux sous-groupes H et H′ d'ordre n tels que H ∩H′ = {e}, alors n = 2. Donner la table de G. 19. Déterminer le nombre de morphisme de G dans H dans les cas suivants : (a) G = (Z, +) et H = (Z, +) (b) G = Z/6Z et H = Z/11Z. 20. Soit G est abélien. Soient a et b deux éléments de G d'ordres m et n respectivement avec m premier avec n. Montrer que ab a pour ordre mn. 21. Soit G un groupe ni d'ordre n > 1. On désigne par N =  t ∈N ∗: ∀x ∈G, xt = e . (a) Montrer que N n'est pas vide. On pose m = infN. (b) Déterminer n et m pour G = Z/2Z × Z/2Z. (c) Montrer que si t ∈N, alors m divise t et qu'ainsi m divise n. (d) Montrer que m = ppcm(o(x)/x ∈G). (e) On suppose que G est commutatif, que m = rs avec r > 1, s > 1 et que r ∧s = 1. On pose {H = x ∈G : xr = e} et K = {x ∈G : xs = e}. i. Montrer que H et K sont des sous-groupes de G. ii. Montrer que H ∩K = {e}, HK = G et qu'ainsi G est isomorphe à H × K. iii. Montrer que H ̸= {e} et K ̸= {e}. 3 22. Un groupe G d'ordre 33 opère sur un ensemble E de 19 éléments. On suppose qu'il ne s'opère pas trivialement. Montrer qu'il y a cependant au moins un point xe. Déter- miner toutes les possibilités pour le nombre de points xes. 23. Soit G un groupe agissant sur un ensemble E. (a) On suppose que toute orbite contient au moins deux éléments, |G| = 15 et Card(E) = 17. Déterminer le nombre d'orbites et le cardinal de chacune. (b) On suppose que |G| = 33 et Card(E) = 19. Montrer qu'il existe au moins une orbite réduite à un élément. 24. (a) Montrez qu'un groupe de cardinal 15 est cyclique. (b) Montrez qu'un groupe de cardinal 30 n'est pas simple. On pourra compter les éléments d'ordre 3 et 5. (c) Montrez qu'un groupe de cardinal d'ordre 200 n'est pas simple. 25. Soit G un groupe non abélien d'ordre 231. (a) Montrer que G contient un unique sous-groupe H d'ordre 7, et un unique sous- groupe K d'ordre 11. (b) Montrer que T = HK est un sous-groupe de G, distingué dans G et cyclique. (c) Soit x un élément de G d'ordre 77. Montrer que x ∈T et calculer le nombre d'éléments de G d'ordre 77. 4 UNIVERSITÉ N'DJAMENA 2019-2020 FSEA/Département de Mathématiques UE Groupes, anneaux et corps L3 MATHS, Semestre 5 Dr Patience DEHAINSALA Contrôle continu 10 octobre 2020 3 heures Exercice 1 Soit G un groupe d'ordre 35 opérant sur un ensemble E de cardinal 19 éléments. On suppose qu'il ne s'opère pas trivialement. Déterminer le nombre d'orbitres et le cardinal de chacune. Exercice 2 1. Montrer qu'un groupe d'ordre 140 n'est pas simple. 2. Montrer qu'un groupe d'ordre 56 n'est pas simple. 3. Montrer qu'un groupe d'ordre 132 n'est pas simple (On procédera par l'absurde en montrant que le groupe contient un certain nombre d'éléments supérieur à son ordre). Exercice 3 Dans le groupe S7 des permutations d'un ensemble à 7 éléments, on conidère la permutation σ = (1234)(567). 1. Calculer la signature et l'ordre de σ. 2. Donner les décompositions de σ28 et σ26 en produit de cycles disjoints. Exercice 4 Soient G un groupe abélien ni d'ordre n, note multiplicativement, a un élément de G et H un sous-groupe propre de G tel que a / ∈H. On considère l'ensemble N =  t ∈N∗| at ∈H . 1. Montrer que N possède un plus petit élément. On pose m = inf N. 2. Montrer que si s ∈N, alors m/s. 3. Montrer que l'ordre de a, considéré comme élément du groupe G/H, est égal à m. 4. On considere l'ensemble K =  x ∈G/∃j ∈Z, ∃h ∈H : x = ajh =< a > H. (a) Montrer que K est un sous-groupe de G, le plus petit (au sens de l'inclusion) contenant H et a. (b) Véri er que K/H =< a >. En déduire que |K| = m|H|. 5. Application : On pose G = Z/24Z, H uploads/Litterature/ corrige-et1-2020.pdf

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littérature montrer groupe sous-groupe alors d'ordre
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