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32 CORRIGE TD n°6 Interféromètre de Michelson. EXERCICE 1 : interféromètre de M

32 CORRIGE TD n°6 Interféromètre de Michelson. EXERCICE 1 : interféromètre de Michelson (franges d’égale épaisseur) Un interféromètre de Michelson est réglé pour donner des franges de coin d’air ; la différence de marche au centre du champ des miroirs est nulle. On opère sous incidence quasi normale, en lumière monochromatique de longueur d’onde dans le vide λ0 = 0,5893 µm et on dispose de deux lentilles convergentes L1 et L2 de même distance focale f’ = 0,20 m. On observe les franges du coin d’air par projection sur un écran E. 1. Faire un schéma. 2. L’écran E est placé à D = 1 m de la lentille L2. L’interfrange mesuré sur l’écran est : i = 5 mm. Calculer l’angle α du coin d’air. On règle maintenant l’interféromètre de Michelson en lumière blanche. 3. Qu’observe-t-on sur l’écran ? On interpose sur un des trajets du faisceau lumineux (entre la séparatrice et un des miroirs) une lame d'indice n (le rayon lumineux est perpendiculaire aux faces de la lame) et d'épaisseur e. 4. Montrer qu'en déplaçant un des miroirs, on peut retrouver le phénomène initial. Pourquoi opère-t-on en lumière blanche ? 5. Montrer qu'ainsi on peut mesurer l'indice de la lame connaissant son épaisseur. CORRECTION : 1. La lentille L1 permet d’obtenir un faisceau quasi parallèle en plaçant la source au voisinage du foyer objet. Les franges sont alors localisées sur le coin d’air dont on forme l’image, grâce à L2, sur l’écran (E). 33 Sur cette figure, seuls les rayons ou les portions de rayon nécessaires pour la compréhension du schéma ont été représentés. L’axe O1O’ a été orienté de façon à pouvoir utiliser la relation de conjugaison pour la lentille L2. 2. L’interfrange i est mesuré sur l’écran. Il est lié à l’interfrange i0 sur le coin par : 2 0 2 1 ' / O O i i O O γ = = Correspondant au grandissement transversal induit par (L2). Or on lit sur le schéma : 2 ' O O D = . Par ailleurs 2 ' O O et 2 1 O O sont liés par la relation de conjugaison (L2) : 2 2 1 1 1 1 ' ' f O O O O − = d’où l’on tire sans peine : 2 1 ' ' Df O O D f = − . Puis : ( ) 0 / '/ ' 1,25 mm. i i if D f γ = = − = Or pour le coin d’air, l’interfrange est donné par la formule classique 0 0 / 2 i λ α = . On en déduit que ( ) ( ) 4 0 ' / 2 ' 2,36 10 rad 0,81 minute d'angle. D f if α λ − = − = × = 3. On peut s’assurer que la différence de marche est nulle au centre de l’écran en éclairant le dispositif en lumière blanche : on doit voir apparaître au centre de l’écran la frange d’ordre zéro, achromatique, entouré de quelques franges de plus en plus irisées et de moins en moins contrastées. Remarque : l’interfrange du coin d’air est inversement proportionnel à α. Quand on observe ce type de franges, on peut agir sur les vis d’orientation des miroirs pour augmenter l’interfrange (écarter les franges). On se rapproche alors du parallélisme entre M1 et M2’. 4. L’introduction de la lame d’épaisseur e introduit une différence de marche supplémentaire que l’on peut compenser en modifiant la position du miroir M2. Si la lame a été ajoutée entre la lame séparatrice et le miroir M2, il va falloir rapprocher le miroir M2 de la séparatrice. Si au contraire, il a été placé entre le miroir M1 et la séparatrice, il va falloir éloigner le miroir M2. On observe le phénomène en lumière blanche car on ne peut donc observer que quelques franges sur l’écran, ce qui permet une mesure précise. La différence de marche supplémentaire introduite est ( ) 2 1 s e n δ = − . On doit mettre le facteur 2 en raison de l’aller-retour. Et on a implicitement approximer l’indice de l’air à 1. En modifiant la position du miroir M2 de cette distance, on retrouve les franges d’interférences précédentes. 5. En repérant les positions du miroir M2 avant introduction de la lame et après introduction de la lame une fois que l’on a retrouvé la figure d’interférences, on détermine la différence de marche supplémentaire introduit par la lame. Attention un déplacement x du miroir introduit une différence de marche supplémentaire de 2x en raison de l’aller retour. Soit ∆, le déplacement du miroir M2, on a alors / 1 n e = ∆ + . EXERCICE 2 : Observation d’un doublet. 34 Un interféromètre de Michelson est éclairé par une source monochromatique λ0 (pulsation ω0) collimatée par la lentille L1 qui donne un faisceau parallèle. Ce faisceau, considéré comme étant une onde plane dont l’amplitude du champ électrique 0 0 i t E e ω est divisé en deux faisceaux identiques par une lame séparatrice d’épaisseur négligeable (appelé pellicule séparatrice). La première partie du faisceau réfléchie par un miroir fixe M1 et après une nouvelle traversée de la pellicule se dirige vers la lentille L2 et le détecteur. La deuxième partie du faisceau est réfléchie par un miroir mobile M2 et après réflexion sur la pellicule vient interférer avec la première partie du faisceau. En x = 0, la différence de marche δ entre les deux faisceaux qui interfèrent est nulle. 1. Ecrire l’amplitude du champ électrique des deux faisceaux au niveau du détecteur. 2. Ecrire l’éclairement Ed vu par le détecteur en fonction du déplacement d du miroir mobile M2. 3. Représenter graphiquement la variation de l’éclairement Ed en fonction de λ0. Sur quelle distance doit-on déplacer le miroir mobile M2 pour que l’éclairement Ed passe d’un minimum à un autre ? 4. On remplace la source monochromatique par une source émettant deux longueurs d’onde proches λ1 et λ2 (∆λ = λ1−λ2, λ1≈λ2≈λ0 et ∆λ<< λ0) et de même amplitude. Donner la nouvelle expression de l’éclairement Ed en fonction de λ0, ∆λ et de d. Représenter schématiquement cette variation et déterminer ∆λ ou ∆υ. 5. Cette source est un laser He-Ne émettant sur deux modes séparés de ∆υ au voisinage de λ0 = 632,8 nm. Déterminer la valeur numérique de ∆υ en MHz sachant que l’on est obligé de déplacer le miroir de 24,5 cm pour faire décrire à Ed(d) un motif complet. CORRECTION : 1. Au niveau de la séparatrice, le champ est divisé en deux parties égales. L’éclairement est divisé par deux. L’amplitude du champ doit donc être multiplié par 1/ 2 . On passe une nouvelle fois par la séparatrice. Le champ électrique doit donc être multiplié par ½. Au niveau du détecteur, on utilise le théorème de superposition pour déterminer le champ électrique. 35 ( ) 0 1 exp 2 d E E i t ω = et ( ) 0 2 exp 2 d E E i t ω = d’où ( ) 0 0 0 2 exp 1 exp 2 d E i E i t πδ ω λ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ = ⎜+ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ où 2d δ = est la différence de marche entre les deux faisceaux. 2. On en déduit que : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 * 0 0 0 1 exp 1 exp 1 cos 1 cos 4 2 2 d d d E E E E i i ϕ ϕ ϕ ϕ = = + − + = + = + E E 0 4 1 cos 2 d d π λ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎜ = + ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ E E . 3. Pour passer d’un minimum à l’autre, le miroir M2 doit se déplacer de λ/2. 4. Les sources de longueur d’onde différente ne sont pas cohérentes. On en déduit que : 1 2 0 , , 0 1 2 1 2 1 2 4 4 2 2 2 2 2 cos cos 1 cos cos 2 d d d d d d d d d λ λ π π π π π π λ λ λ λ λ λ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ = + = + + = + + − ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ E E E E E 0 2 0 0 4 2 1 cos cos uploads/Litterature/ corrige-td6.pdf