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Les hacheurs à liaison directe I. Hacheur série (Buck) Exercice I On considère

Les hacheurs à liaison directe I. Hacheur série (Buck) Exercice I On considère le montage cicontre : La tension d’alimentation est égale à 200 V, la fréquence de découpage est notée f (période T) et le rapport cyclique a. L’interrupteur K est commandé à la fermeture de 0 à aT et à l’ouverture de aT à T. 1. Étude de la tension a. Représenter uc(t) et la tension aux bornes de l’inductance pour un rapport cyclique égal à 0,6. K D U i(t) uc(t) ic(t) L E Lorsque K est fermé, entre 0 et aT, alors la tension uc(t) est égale à 200 V ; lorsque K est ouvert, entre aT et T, la diode est passante (équivalente à un interrupteur fermé) et uc(t) est égale à 0 V. Le rapport cyclique est égal à 0,6 : uc(t) = 200 V de 0 à 0,6T et uc(t) = 0 V de 0,6T à T. La tension aux bornes de l'inductance est orientée comme indiqué sur le schéma. D'après la loi des mailles : uLt =uct−E entre 0 et aT : uLt =200−E car uct=200 entre aT et T : uLt =−E car uct=0 Puisque le courant ic(t) est périodique alors la valeur moyenne de la tension aux bornes de l'inductance est nulle (résultat du cours), on a donc 200−E.T=−ET−T La tension aux bornes de l'inductance présente un palier de valeur 200−E entre 0 et aT et un second palier de valeur −E entre aT et T ; Les surfaces délimitées par ces paliers et l'axe des abscisses sont égales en valeur absolue. b. Exprimer la valeur moyenne de uc(t) en fonction du rapport cyclique et de U. Ucmoy= 1 T T .200=200 Application numérique : calculer a pour E = 150V. D'après la loi des mailles : uLt =uct−E ce qui donne Ucmoy=E car la valeur moyenne de la tension aux bornes de l'inductance est nulle et finalement 200=E . Pour E = 150V, il faut = E 200 ce qui donne a = 0,75. 2. Étude de l'intensité On note Imin et Imax les valeurs minimale et maximale de ic (t). a. Établir l’équation du courant ic(t) entre 0 et aT puis entre aT et T. D'après la loi des mailles et la loi d'Ohm : L dit  dt =uct −E soit dict  dt =uct −E L • Entre 0 et aT uc(t) = 200 V donc dict  dt =200−E L . La dérivée de l'intensité est constante. La courbe représentative de l'intensité est une droite de pente 200−E L et d'ordonnée à l'origine à déterminer, elle est notée B1. Résultat intermédiaire : it=200−E L tB1 Corrigé hacheurs série Page 1 TS1 ET 20132014 uL(t) Pour déterminer B1, on utilise la condition initiale : ic(0) = Imin ce qui donne ic0=200−E L 0B1 On obtient B1=ic0=I min Résultat final : ict =200−E L tI min • Entre aT et T uc(t) = 0 V donc dict  dt =−E L . La dérivée de l'intensité est constante. La courbe représentative de l'intensité est une droite de pente −E L et d'ordonnée à l'origine à déterminer, elle est notée B2. Résultat intermédiaire : ict =−E L tB2 Pour la détermination de B2, on utilise la condition : i(aT) = Imax ce qui donne icT =−E L TB2 On obtient I max=−E L TB2 soit I max=−E L TB2 Résultat final : ict =−E L t−TI max b. Déduire de ce qui précède l’expression littérale de l’ondulation de ic(t) en fonction de U, a, L et de la fréquence de découpage. c. Compléter le tableau cicontre (Dimax est la valeur maximale de l’ondulation). L (mH) f (kHz) Dimax (A) 40 2 10 0,3 6 0,15 On reprend l'expression de ic(t) obtenue entre 0 et aT : ict =200−E L tI min et on écrit qu'à l'instant aT, le courant est maximal : I max=200−E L TI min soit ic=I max−I min=200−E L T En remplaçant E par 200a et T par 1 f , on obtient ic=200−200 Lf = 2001− L f L'ondulation du courant est maximale lorsque le rapport cyclique est égal à 0,5 ce qui donne imax=2001−0,50,5 Lf = 200 4 L f = 50 Lf Équation pour la première ligne du tableau : imax= 50 40.10 −3.2.10 3 0,625 A Équation pour la deuxième ligne du tableau : f = 50 Limax = 50 10.10 −3.0,3 =16,7 kHz Équation pour la troisième ligne du tableau : L= 50 f imax = 50 6.10 3.0,15 =55,5 mA d. Représenter ic(t) si sa valeur moyenne est égale à 4 A, la fréquence de 2 kHz, l’inductance L = 40 mH et le rapport cyclique égal à 0,75. Pour un rapport cyclique égal à 0,75 l'ondulation est égale à ic=2001−0,750,75 40.10 −3.2.10 3 =0,47 A . La valeur maximale est égale à I max=I cmoyic 2 =40,47 2 ≈4,23 A et la valeur minimale égale à I min=I cmoy−ic 2 =4−0,47 2 ≈3,77 A Corrigé hacheurs série Page 2 TS1 ET 20132014 Exercice II On considère le montage cicontre : la tension d’alimentation V1 est égale à 200 V, le rapport cyclique est noté a et la fréquence de découpage f (période T). L’interrupteur K est commandé à la fermeture de 0 à aT et à l’ouverture de aT à T. 1. Étude des tensions a. Représenter uc(t) pour un rapport cyclique égal à 0,4. b. Exprimer la valeur moyenne de uc(t) en fonction de a et V1. c. Calculer a si E = 50 V K D V1 uc(t) i(t) L E L = 40 mH a. Lorsque K est fermé, entre 0 et aT, alors la tension uc(t) est égale à V1 ; lorsque K est ouvert, entre aT et T, la diode est passante (équivalente à un interrupteur fermé) et uc(t) est égale à 0 V. Le rapport cyclique est égal à 0,4 : uc(t) = 200 V de 0 à 0,4T et uc(t) = 0 V de 0,4T à T. b. Ucmoy= 1 T T .V 1=.V 1=200 c. D'après la loi des mailles : uLt =uct−E (voir uL(t) sur le schéma) ce qui donne Ucmoy=E car le courant étant périodique alors la valeur moyenne de la tension aux bornes de l'inductance est nulle et finalement 200=E . Pour E = 50V, il faut = E 200 ce qui donne a = 0,25. 2. Étude de l'intensité a. Entre 0 et αT ➢Représenter le schéma équivalent entre 0 et aT (K est fermé et la diode D est bloquée). L'interrupteur est remplacé par un fil (ou contact fermé) et la diode par un circuit ouvert (ou contact ouvert). ➢Établir la relation entre V1, E, L et dit dt . Cette relation est obtenue à partir de la loi des mailles et de la loi d'Ohm : dit dt =V 1−E L ➢Déduire de la question précédente l’équation de i(t). L’intensité pour t = 0 est notée Imin. En intégrant la relation précédente, on obtient it=V 1−E L tB1 avec B1 la constante d'intégration. Pour déterminer B1, on utilise l'information i(0) = Imin. Ce qui donne en remplaçant t et i(0) dans l'équation précédente I min=V 1−E L 0B1 et B1=I min Finalement it=V 1−E L tI min b. Entre αT et T ➢Représenter le schéma équivalent entre aT et T. ➢L'interrupteur est remplacé par un circuit ouvert (ou contact ouvert) et la diode par un fil (ou contact fermé). ➢Établir la relation entre E, L et dit dt . Cette relation est obtenue à partir de la loi des mailles et de la loi d'Ohm : dit dt =−E L ➢Déduire de la question précédente l’équation de i(t). L’intensité pour t = aT est notée Imax. En intégrant la relation précédente, on obtient it=−E L tB2 avec B2 la constante d'intégration. Pour déterminer B2, on utilise l'information i(aT) = Imiax. Ce qui donne en remplaçant t et i(aT) dans Corrigé hacheurs série Page 3 TS1 ET 20132014 uL(t) iK(t) iD(t) l'équation précédente I max=−E L TB2 et B2=I maxE L T Finalement it=−E L t−T I max 3. Ondulation du courant ➢Établir l’expression littérale de l’ondulation du courant en fonction de E, V1, a, L et T puis V1, a, L et f. On reprend l'équation it=V 1−E L tI min valable entre 0 et aT et on écrit que le courant est maximal à l'instant aT : I max=V 1−E L TI min . Ce qui donne i=I max−I min=V 1−E L T . Comme E=V 1 et T=1 f alors i=I max−I min=V 11− Lf ➢Calculer la fréquence de fonctionnement si l’ondulation ne doit pas dépasser 0,5 A. L'ondulation est maximale lorsque la rapport cyclique est égal à 0,5 ce qui donne imax= V 1 4 Lf d'où f = V 1 4 Limax = 200 4.40.10 −3.0,5 =2500 Hz 4. Intensités à travers les interrupteurs La courbe cicontre représente l’évolution de i(t) en fonction du temps. ➢Représenter l’intensité à travers l’interrupteur K (penser à indiquer son orientation sur le schéma). ➢Représenter uploads/Litterature/ corrigecourshacheursserie-1314 1 .pdf