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29/03/2021 1 Cours Automatique linéaire (GEMI/GI) Université Abdelmalek Essaâdi

29/03/2021 1 Cours Automatique linéaire (GEMI/GI) Université Abdelmalek Essaâdi Faculté des Sciences et Techniques de Tanger M. BENLAMLIH Ver. 2021 Pr. Mohammed Benlamlih mbenlamlih@uae.ac.ma Cours Automatique Linéaire 1 29/03/2021 2 Systèmes Linéaires Modélisation Transformée de Laplace (Rappels) M. BENLAMLIH Transformée de Laplace (Rappels) Cours Automatique Linéaire 2 29/03/2021 3 Systèmes Linéaires Continus Invariants (SLCI) Modélisation Transformée de Laplace (rappels) Transformation des blocs Réponse temporelle • Premier M. BENLAMLIH • Premier • Second Ordre • Ordres supérieurs – notion de pole dominant • Intégrateur pur • Retard pur Cours Automatique Linéaire 3 29/03/2021 4 Systèmes linéaires Pour étudier le fonctionnement d’un système il nous faut le représenter sous la forme d’un schéma fonctionnel M. BENLAMLIH Le signal d’entrée et le signal de sortie sont des fonctions temporelles notées e(t) et s(t) Par exemple: • signal de commande de l’actionneur • le signal du capteur Cours Automatique Linéaire 4 29/03/2021 5 Systèmes linéaires Un système linéaire peut être décrit par une équation différentielle entre l’entrée et la sortie: où les coefficients ai et bj et sont constants. M. BENLAMLIH L’équation différentielle décrit le comportement des régimes dynamique et permanent ou statique du système Cours Automatique Linéaire 5 29/03/2021 6 Systèmes linéaires Le régime permanent est décrit en annulant les dérivées. Le système est dit d’ordre n d’après le degré de la dérivée d’ordre le plus élevé sur s(t). Pour un système physique (réalisable) n ≥ m M. BENLAMLIH Pour un système physique (réalisable) n ≥ m Cours Automatique Linéaire 6 29/03/2021 7 Modélisation M. BENLAMLIH Cours Automatique Linéaire 7 29/03/2021 8 Modélisation capteur de position angulaire  Capteur de position: Convertit un angle de rotation (d’un moteur par ex.) en une tension M. BENLAMLIH Cours Automatique Linéaire 8 29/03/2021 9 Modélisation- système hydraulique  Réservoir: ) ( ) ( . . . t q t q dt dh S dt q dt q dh S Vout Vin dV V e V e − = − = − = Débit de remplissage qe (grandeur d’ entrée) M. BENLAMLIH Cours Automatique Linéaire 9 Débit de vidage qv Hauteur d’eau h (grandeur de Sortie) Réservoir h(t) qe(t) Réservoir de surface S q 29/03/2021 10 Modélisation- système hydraulique Cas particuliers selon le débit de vidage:  Pas de vidage: M. BENLAMLIH Cours Automatique Linéaire 10 ) ( 0 ) ( t q dt dh S t q e V = = Débit de remplissage qe (grandeur d’ entrée) Hauteur d’eau h (grandeur de Sortie) 29/03/2021 11 Modélisation- système hydraulique Cas particuliers selon le débit de vidage:  Vidage par gravitée: Débit de remplissage qe (grandeur d’ entrée) h M. BENLAMLIH Cours Automatique Linéaire 11 ) ( ) ( . ) ( . ) ( ) ( . ) ( t q t h k dt dh S t h k t q dt dh S t h k t q e e V = + − = = Débit de vidage qv =k.h h 29/03/2021 12 Modélisation- système hydraulique Cas particuliers selon le débit de vidage:  Vidage forcé (par pompe): Débit de remplissage qe (grandeur d’ entrée) h M. BENLAMLIH Cours Automatique Linéaire 12 Débit de vidage constant = QV h V e V V Q t q dt dh S Q t q − = = ) ( ) ( 29/03/2021 13 Exemples d’application M. BENLAMLIH Cours Automatique Linéaire 13 Système x(t) Fin(t) 29/03/2021 14 Modélisation- système mécanique modélisation d’un amortisseur de voiture M. BENLAMLIH Cours Automatique Linéaire 14 Système y1(t) y2(t) 29/03/2021 15 Modélisation- Enceinte thermique  Exemple: enceinte thermique (four): C: Capacité calorifique de l’enceinte J/°C R: Résistance thermique de l’enceinte °C/W Te: Température extérieure °C (constante) P(t): Puissance fourni à l’enceinte pour la chauffer qs: Flux de chaleur perdu par conduction thermique à travers les parois de l’enceinte P M. BENLAMLIH Cours Automatique Linéaire 15 travers les parois de l’enceinte Système θ(t) P(t) On pose θ(t) = T(t)-Te ainsi pour qe(t)=0 θ(t)=0 ) ( ) ( 1 t P t R dt d C = + θ θ dt t R dt t P d C Eout Ein E ). ( . ). ( . θ θ − = − = ∆ 29/03/2021 16 Modélisation – Moteur à courant continu  Modélisation moteur électrique à courant continu M. BENLAMLIH – um(t ) : tension aux bornes du moteur (en V) ; – em(t ) : force contre électromotrice (en V) ; – im(t ) : intensité (en A) ; – ωm(t ) : vitesse de rotation du moteur (en rad/s ) ; – Cm(t ) : couple moteur (en N.m) ; – Jm : inertie équivalente en rotation de l’arbre moteur (en kg m2) ; – Rm : résistance électrique du moteur (en Ω) ; – Ke : constante de force contre électromotrice (en V.r ad-1 .s ) ; – Kc : constante de couple (en N.m.A-1). Cours Automatique Linéaire 16 29/03/2021 17 Modélisation – Moteur à courant continu  Modélisation électrique H M. BENLAMLIH  Modélisation mécanique: Equation dynamique Cours Automatique Linéaire 17 29/03/2021 18 Systèmes linéaires  L’analyse d’un système conduit le plus souvent à représenter chaque bloc par une équation différentielle.  La fonction mathématique du système reliant entrée et sortie est souvent difficile à exprimer. Perturbation z(t) M. BENLAMLIH Cours Automatique Linéaire 18 Régulateur Système +- Consigne: e(t) Mesure Physique: S(t) Capteur Actionneur 29/03/2021 19 Transformée de Laplace  En général, on cherche à déterminer la fonction s(t) (mesure physique) du signal qui dépend des équations des différends blocs du système mais aussi de l’entrée e(t) et de la perturbation z(t) . La Méthode classique de résolution des équations différentielles est compliquée voir impossible pour des ordres supérieurs à 2.  On utilise alors la Transformée de Laplace M. BENLAMLIH  On utilise alors la Transformée de Laplace Cours Automatique Linéaire 19 29/03/2021 20 Avantage: Représentation des systèmes sous forme de block Avec: S(p)=E(p).F(p) Utilisation de la Transformée de Laplace M. BENLAMLIH 20 Cours Automatique Linéaire 29/03/2021 21 Rappels Transformée de Laplace (TL) Définition: M. BENLAMLIH NB: Anglophones utilisent « s » au lieu de « p » Cours Automatique Linéaire 21 { }  ∞ − = = 0 ) ( ) ( ) ( ). ( dt e t f s F t u t f st L 29/03/2021 22 Exemple Exemple: calcule de la transformée de Laplace de: at e t f − = ) ( t 1 signal M. BENLAMLIH Cours Automatique Linéaire 22 t 0 a p p F + = 1 ) ( 29/03/2021 23 Exemple Exemple: calcule de la transformée de Laplace d’un échelon: e(t)=A.u(t) M. BENLAMLIH Cours Automatique Linéaire 23 p A p E = ) ( 29/03/2021 24 Exemple: calcule de la transformée de Laplace d’une rampe: M. BENLAMLIH Cours Automatique Linéaire 24 2 ) ( p a p E = ) ( p E 29/03/2021 25 Rappels Transformée de Laplace Propriétés: Linéarité: M. BENLAMLIH Cours Automatique Linéaire 25 29/03/2021 26 Rappels Transformée de Laplace Dérivation: M. BENLAMLIH Intégration: Cours Automatique Linéaire 26 29/03/2021 27 Rappels Transformée de Laplace Théorème des limites (sous certaines conditions!) Théorème du retard p p M. BENLAMLIH Théorème du retard Cours Automatique Linéaire 27 29/03/2021 28 Exemple de retard Un fluide circule dans une canalisation (douche) La vitesse d’écoulement est constante Relation entre la température du fluide aux points M et M1 Domaine temps: M. BENLAMLIH Domaine de Laplace: Cours Automatique Linéaire 28 29/03/2021 29 Résumé propriétés de La Transformée de Laplace M. BENLAMLIH Cours Automatique Linéaire 29 29/03/2021 30 Rappels Transformée de Laplace Conditions sur les théorèmes de limites: • 1- Théorème de la valeur finale: • Tous les pôles de F(s) doivent être à partie réelle négative ET • pas plus de un pôle à l’origine M. BENLAMLIH • pas plus de un pôle à l’origine • 2- Théorème de la valeur initiale: • f(t) doit être continue OU • a une discontinue type échelon à t=0. (càd pas d’impulsions de Dirac ou leurs dérivés à t=0) Cours Automatique Linéaire 30 29/03/2021 31 Rappel Transformée de Laplace Table des transformées de Laplace M. BENLAMLIH Cours Automatique Linéaire 31 29/03/2021 32 Rappel Transformée de Laplace  Système dans le domaine temps: M. BENLAMLIH  Système dans le domaine de Laplace (ou symbolique):  H(p): La fonction de transfert représente le comportement du système Cours Automatique Linéaire 32 29/03/2021 33 Rappel Transformée de Laplace  Selon les besoins, on écrira la fonction de transfert sous différentes formes: • Analyse de la précision… n = ordre du système α = classe du système K = gain statique M. BENLAMLIH • Analyse de la stabilité, annulation de pôles… Cours Automatique Linéaire 33 K = gain statique zi sont les zéros pi les pôles de la fonction de transfert. 29/03/2021 34 Exemple d’application Soit a résoudre l’équation différentielle (Conditions Initiales nulles): Appliquer Laplace aux deux membres: M. BENLAMLIH Isoler Y(s): Trouver la solution dans le domaine de Laplace Calculer transformée inverse (utilisation des tables): Cours Automatique Linéaire 34 29/03/2021 35 Systèmes Linéaires Système Continu: • Un uploads/Litterature/ cours-automatique-lineaire-seance-2-systemes-lineaires-lapalce-reponse-temporelle-premier-ordre-2021.pdf